Dane są takie wielomiany \(\displaystyle{ P(x), Q(x), R(x), S(x)}\), że
\(\displaystyle{ P(x^5)+x\cdot Q(x^5)+x^2\cdot R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)\cdot S(x)}\)
Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-1}\)
to
\(\displaystyle{ (x^4+x^3+x^2+x+1)= \frac{x^5-1}{x-1}}\)
na coś wskazuje tylko nie do końca wiem, na co. Można prosić od jakąś podpowiedź drobną?
Wykaz ze wielomian jest podzielny
-
brzoskwinka1
Wykaz ze wielomian jest podzielny
Niech \(\displaystyle{ \sqrt[5]{1} =\{\varepsilon_0 ,\varepsilon_1 ,\varepsilon_2 ,\varepsilon_3 ,\varepsilon_4 \} .}\) Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(1) +\varepsilon_1 Q(1) +\varepsilon_2 R(1) =0\\P(1) +\varepsilon_2 Q(1) +\varepsilon_4 R(1)=0 \\P(1) +\varepsilon_3 Q(1) +\varepsilon_1 R(1) =0\end{cases}}\)
Wyznacznik tego układu jest różny od zera. Więc \(\displaystyle{ P(1)=Q(1)=R(1) =0.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(1) +\varepsilon_1 Q(1) +\varepsilon_2 R(1) =0\\P(1) +\varepsilon_2 Q(1) +\varepsilon_4 R(1)=0 \\P(1) +\varepsilon_3 Q(1) +\varepsilon_1 R(1) =0\end{cases}}\)
Wyznacznik tego układu jest różny od zera. Więc \(\displaystyle{ P(1)=Q(1)=R(1) =0.}\)