Witam, nie wiem czy w dobrym dziale ale spróbuje. Czy ktoś byłby w stanie pomóc w rozwiązaniu zadania metodą mnożników Lagrange`a oczywiście jakoś byśmy się dogadali. Zadanie:
Funkcję\(\displaystyle{ g(x)}\) daną tabelarycznie należy aproksymować wielomianem \(\displaystyle{ p(x) = a x^{2} + bx + c}\) w przedziale \(\displaystyle{ 1 \le x \le 5}\). Wartości\(\displaystyle{ g(x)}\) przedstawia tabela:
x 1 2 3 4 5
g(x) 3 5 4 2 1
Dla \(\displaystyle{ x = 1}\) wymaga się dodatkowo spełnienia warunku \(\displaystyle{ p(1) = g(1)}\) , czyli
\(\displaystyle{ a+b+c=3}\)
Z uwzględnieniem tego ograniczenia, określić wartości\(\displaystyle{ a, b i c}\) minimalizuj¡ce kryterium:
\(\displaystyle{ f(a,b,c) = \sum_{i=1}^{5} [p(i)-g(i)] ^{2} .}\)
Optymalizacja metodą Lagrange`a.
Optymalizacja metodą Lagrange`a.
Owijać w bawełnę nie będę, nie mam o tym zielonego pojęcia, tak samo jak o tym, jak zacząć rozwiązywać to zadanie. Wiem tylko tyle, że do rozwiązania mam użyć solvera. Wiem też, że przez większość będzie to uważane jako lenistwo z mojej strony ale tak nie jest. Na co dzień po prostu się tym nie zajmuję więc proszę o wyrozumiałość.
-
miodzio1988
Optymalizacja metodą Lagrange`a.
mamy dużo wyrozumiałości. Dlatego masz szansę się nauczyć tej metody skoro jest wymagana od Ciebie. Zatem słuchamy, jak ta metoda wygląda? Masz cały net od tego
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Optymalizacja metodą Lagrange`a.
Funkcja Lagrange'a:
\(\displaystyle{ L(a,b,c,\lambda)=\sum_{i=1}^{5}(p(x_{i})-g(x_{i}))^{2}+\lambda(a+b+c-3).}\)
\(\displaystyle{ L(a,b,c,\lambda)=\left[a+b+c-3\right]^{2}+\left[4a+2b+c-5\right]^{2}+\left[9a+3b+c-4\right]^{2}+\left[9a+3b+c-4\right]^{2}+\left[16a+4b+c-2\right]^{2}+\left[25a+5b+c-1\right]^{2}+\lambda(a+b+c-3).}\)
Poszukujemy minimum globalne funkcji L
\(\displaystyle{ L'_{a}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+8\left[4a+2b+c-5\right]+18\left[9a+3b+\right]+32\left[16a+4b+c-2\right] +50\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{b}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+4\left[4a+2b+c-5\right]+6\left[9a+3b+\right]+8\left[16a+4b+c-2\right] +10\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{c}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+2\left[4a+2b+c-5\right]+2\left[9a+3b+\right]l+2\left[16a+4b+c-2\right] +2\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{\lambda}(a,b,c,\lambda)= a+b+c-3=0.}\)
Po uporządkowaniu, otrzymujemy następujący układ równań liniowych:
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{ccc}1958a+450b+110c +\lambda =232\\50a +110b +30c+\lambda = 76\\
110a+30b +8c +\lambda =29\\ a+b+c -3 = 0\end{array}\right.}\)
Po odjęciu równań stronami (redukcji parametru \(\displaystyle{ \lambda}\))
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{ccc}1908a +340b +80c = 156\\-60a + 80b +22c =47\\a +b+c = 3 \end{array}\right.}\)
Rozwiązując układ równań (1),(2),(3), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a*\approx -0.0005, b* \approx -0.3268, c* \approx 3.3263}\)
Pozostało sprawdzenie, czy funkcja Lagrange'a ma w punkcie \(\displaystyle{ (a*,b*,c*)}\) minimum globalne.
W tym celu znajdujemy macierz drugiej rózniczki i sprawdzamy jej określoność:
\(\displaystyle{ D^{2}(L) = \left[\begin{array}{ccc}1908&340&80\\-60&80&22\\1&1&1\end{array}\right]}\)
Macierz drugiej różniczki \(\displaystyle{ D^{2}}\) jest dodatnio określona więc w punkcie \(\displaystyle{ (a*,b*,c*)= (-0.0005,-0.3268, 3.3263)}\) funkcja \(\displaystyle{ L}\) ma minimum globalne.
Wielomian aproksymujący funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) w sensie aproksymacji średniokwadratowej ma postać:
\(\displaystyle{ p(x)= -0.005x^{2}- 0.3268x +3.3263.}\)
\(\displaystyle{ L(a,b,c,\lambda)=\sum_{i=1}^{5}(p(x_{i})-g(x_{i}))^{2}+\lambda(a+b+c-3).}\)
\(\displaystyle{ L(a,b,c,\lambda)=\left[a+b+c-3\right]^{2}+\left[4a+2b+c-5\right]^{2}+\left[9a+3b+c-4\right]^{2}+\left[9a+3b+c-4\right]^{2}+\left[16a+4b+c-2\right]^{2}+\left[25a+5b+c-1\right]^{2}+\lambda(a+b+c-3).}\)
Poszukujemy minimum globalne funkcji L
\(\displaystyle{ L'_{a}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+8\left[4a+2b+c-5\right]+18\left[9a+3b+\right]+32\left[16a+4b+c-2\right] +50\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{b}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+4\left[4a+2b+c-5\right]+6\left[9a+3b+\right]+8\left[16a+4b+c-2\right] +10\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{c}(a,b,c,\lambda) =2\left[a+b+c-3\right]+2\left[4a+2b+c-5\right]+2\left[9a+3b+\right]l+2\left[16a+4b+c-2\right] +2\left[25a+5b+c-1\right]+\lambda =0}\)
\(\displaystyle{ L'_{\lambda}(a,b,c,\lambda)= a+b+c-3=0.}\)
Po uporządkowaniu, otrzymujemy następujący układ równań liniowych:
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{ccc}1958a+450b+110c +\lambda =232\\50a +110b +30c+\lambda = 76\\
110a+30b +8c +\lambda =29\\ a+b+c -3 = 0\end{array}\right.}\)
Po odjęciu równań stronami (redukcji parametru \(\displaystyle{ \lambda}\))
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{ccc}1908a +340b +80c = 156\\-60a + 80b +22c =47\\a +b+c = 3 \end{array}\right.}\)
Rozwiązując układ równań (1),(2),(3), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a*\approx -0.0005, b* \approx -0.3268, c* \approx 3.3263}\)
Pozostało sprawdzenie, czy funkcja Lagrange'a ma w punkcie \(\displaystyle{ (a*,b*,c*)}\) minimum globalne.
W tym celu znajdujemy macierz drugiej rózniczki i sprawdzamy jej określoność:
\(\displaystyle{ D^{2}(L) = \left[\begin{array}{ccc}1908&340&80\\-60&80&22\\1&1&1\end{array}\right]}\)
Macierz drugiej różniczki \(\displaystyle{ D^{2}}\) jest dodatnio określona więc w punkcie \(\displaystyle{ (a*,b*,c*)= (-0.0005,-0.3268, 3.3263)}\) funkcja \(\displaystyle{ L}\) ma minimum globalne.
Wielomian aproksymujący funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) w sensie aproksymacji średniokwadratowej ma postać:
\(\displaystyle{ p(x)= -0.005x^{2}- 0.3268x +3.3263.}\)