Pierwiastek podwójny i parametr

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
marek252
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 662
Rejestracja: 9 wrz 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 154 razy

Pierwiastek podwójny i parametr

Post autor: marek252 »

Witam.
Mam takie zadanie. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu określonego wzorem \(\displaystyle{ W(x)=3x^3-(9m+2)x^2+16x+48}\)
Mi wyszło \(\displaystyle{ m=- \frac{2}{3}}\), tylko nie wiem jak to sprawdzić. Może ktoś rzucić okiem. Druga pytanie jest następujące. Wiemy, że jeśli liczba np. \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem pojedynczym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to wówczas \(\displaystyle{ W(4)=0}\). A jak jest gdy \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem podwójnym, potrójnym itd.? Czy wówczas \(\displaystyle{ W(4)=0}\) czy \(\displaystyle{ W(4^2)=0}\) czy może nie ma żadnej zasady?
Pozdrawiam
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Pierwiastek podwójny i parametr

Post autor: tometomek91 »

No jest zasada taka, że \(\displaystyle{ W(4)=0}\) i \(\displaystyle{ W'(4)=0}\).
Ale można też tak pomyśleć:
Skoro ma być podwójnym pierwiastkiem, to muszę go zapisać w takiej postaci \(\displaystyle{ (x-4)^2H(x)}\) i stąd znaleźć m.

Półki co to mamy:
Jeśli tutaj rozwiążemy \(\displaystyle{ W(4)=0}\) i znajdziemy stąd m, to będzie to oznaczać, że 4 jest pierwiastkiem pojedynczym dla tego m i nie wykluczone, że może podwójnym. Pozostaje więc sprawdzić jakie są pierwiastki dla znalezionego m, jeśli okaże się, że 4 będzie wtedy pojedynczym, wówczas takiego parametru nie ma.
ODPOWIEDZ