Znajdź największą wartość ułamka

[mortan517]

Znajdź największą wartość ułamka:

\(\displaystyle{ \frac{-x^{4}-3}{x^{4}+4x^{2}+4}}\)

oraz \(\displaystyle{ x}\) dla którego ułamek osiąga największą wartość.


Naprowadzi ktoś? To zadanie z tegorocznego finału XIII PKM Lei klasy 2 liceum.
Jakoś nie mam pomysłu, żeby się za to zabrać. Próbowałem jakoś podstawić \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) albo mianownik zwinąć w kwadrat ale nie za dużo mi to daje.

Dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ - \frac{t^{2}+3}{(t+2)^{2}}}\)

[mateus_cncc]

w tym konkursie w zakres wiedzy wchodziły pochodne?

jak nie to co do czego doszedłeś widać, że zawsze będzie mniejsze od zera. trzeba więc poszukać takiego t w tym przypadku żeby ułamek był jak najbliższy zera

[Kartezjusz]

Jaki znak będzie miał ten ułamek?

[mortan517]

Więc tak, to też już zauważyłem, ale żeby coś dalej to nie wiem, bo zmienia się i licznik i mianownik ;/ w zakres nie wchodzą pochodne.

[Kartezjusz]

W takim razie,gdyby to nie był ten ułamek,a inny,który jest zawsze ujemny,to jaką wartość miałby przyjmować w najlepszym wypadku?I czy tak się dzieje?

[mortan517]

W najlepszym wypadku chyba przyjmowałby 0, ale tu się tak nie da.

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ x^{4}+3=x^{4}+4x^{2}-4x^{2}+4-1}\) Korzystając dokonaj dzielenia z resztą.

[mortan517]

\(\displaystyle{ \frac{4x^{2}+1}{x^{4}+4x^{2}+4} -1}\)


pomoże ktoś co dalej z tym?