Witam!
Badam stabilność układów automatyki korzystając z najprostszego kryterium o rozkładzie pierwiastków równania charakterystycznego transmitancji na płaszczyźnie zespolonej.
Chciałbym zapytać, w jaki sposób "na kartce" poradzić sobie z rozwiązaniem przykładu typu:
\(\displaystyle{ s^3+2s^2+2s+3=0}\)
Twierdzenie o pierwiastkach CAŁKOWITYCH wielomianu tu się nie sprawdzi. Nie skorzystam też z tw. Bezout (w końcu nie znam ani jednego pierwiastka). A więc... cokolwiek poza Wolframem?
Będę wdzięczny za odpowiedź!
Wielomian o pierwiastkach rzeczywistych + urojonych
-
przemulala
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa / Lublin
- Podziękował: 4 razy
Wielomian o pierwiastkach rzeczywistych + urojonych
Ostatnio zmieniony 10 kwie 2013, o 09:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak treści zadania. Poprawa tematu.
Powód: Brak treści zadania. Poprawa tematu.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wielomian o pierwiastkach rzeczywistych + urojonych
Poczytaj sobie o wzorach Cardano. Równanie trzeciego stopnia zawsze da się rozwiązać na kartce.
... 5%9Bcienne
... 5%9Bcienne
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian o pierwiastkach rzeczywistych + urojonych
Redukcja do równania kwadratowego
Masz równanie
\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{3a_{3}}}\)
(jest to podstawienie liniowe więc możesz użyć np schematu Hornera)
Postawienie to sprowadzi równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Mając równanie w powyższej postaci możesz albo dokonać redukcji do równania kwadratowego
(używasz w tym celu jednego z podstawień \(\displaystyle{ y=u+v}\) albo \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\))
albo sprowadzić równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus)
kąta potrojonego podstawieniem \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{ \alpha }}\)
Jeżeli w równaniu \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) podstawisz \(\displaystyle{ y=u+v}\)
to otrzymane równanie przekształcasz w układ równań który przypomina
wzory Viete trójmianu kwadratowego
Masz równanie
\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{3a_{3}}}\)
(jest to podstawienie liniowe więc możesz użyć np schematu Hornera)
Postawienie to sprowadzi równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Mając równanie w powyższej postaci możesz albo dokonać redukcji do równania kwadratowego
(używasz w tym celu jednego z podstawień \(\displaystyle{ y=u+v}\) albo \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\))
albo sprowadzić równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus)
kąta potrojonego podstawieniem \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{ \alpha }}\)
Jeżeli w równaniu \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) podstawisz \(\displaystyle{ y=u+v}\)
to otrzymane równanie przekształcasz w układ równań który przypomina
wzory Viete trójmianu kwadratowego
-
przemulala
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 4 gru 2011, o 15:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa / Lublin
- Podziękował: 4 razy
Wielomian o pierwiastkach rzeczywistych + urojonych
Wielki dzięki koledzy, o coś takiego mi chodziło!
Chciałbym jednak zapytać o coś jeszcze... Przyszło mi na myśl, że wcale nie muszę znać KONKRETNYCH rozwiązań danego równania. Na dobrą sprawę na moje potrzeby muszę określić MNIEJ WIĘCEJ - Z DOKŁADNOŚCIĄ CO DO ZNAKU (>0 lub <0) - położenie punktu na płaszczyźnie zespolonej.
Czy moglibyście polecić mi na to jakiś sposób? Jeżeli dałoby się to zrobić w miarę prosto, byłaby to piękna optymalizacja zadania
Chciałbym jednak zapytać o coś jeszcze... Przyszło mi na myśl, że wcale nie muszę znać KONKRETNYCH rozwiązań danego równania. Na dobrą sprawę na moje potrzeby muszę określić MNIEJ WIĘCEJ - Z DOKŁADNOŚCIĄ CO DO ZNAKU (>0 lub <0) - położenie punktu na płaszczyźnie zespolonej.
Czy moglibyście polecić mi na to jakiś sposób? Jeżeli dałoby się to zrobić w miarę prosto, byłaby to piękna optymalizacja zadania