Nierówność wielomianowa 3 stopnia

[123ariel456]

Witam,
mam wyznaczyć przedział oplacalności produkcji. Mam funkcję zysku i musi być ona wieksza od 0 więc: \(\displaystyle{ -0,2x^3+60x-60>0}\). Próbowałem jakoś rozkładać ten wielomian, sugerowałem się tematem 195773.htm jednak nie daję rady.

Ponadto mam jeszcze równanie \(\displaystyle{ 2(x^2-1)(x^3+6x^2+3x+2)=0}\). Tu także mam problem, proszę o pomoc i jakieś ogólne zasady co do rozwiązywania wielomianów stopnia 3. Czy dobrym pomysłem byłoby ich podzielenie np. przez \(\displaystyle{ (x-1)}\), albo \(\displaystyle{ (x-2)}\) ? Na matematyka.pisz.pl są przykłady ale takich wielomianów, które dają się pogrupować, te natomiast takie nie są, dlatego zwracam się do was. Z góry dzięki;)

[mortan517]

Jeżeli mamy wielomian stopnia \(\displaystyle{ 3}\) to musimy jakoś poszukać pierwiastki, często robi się to na "wyczucie", ale przydatne mogą być twierdzenia. Poszukaj na internecie metod szukania pierwiastków, np. o pierwiastku wymiernym.

[Mariusz M]

Równanie trzeciego stopnia możesz rozwiązać albo
sprowadzając je do równania kwadratowego odpowiednimi podstawieniami
albo sprowadzając je do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus)
kąta potrojonego
Obydwie te metody działają na ogólne równanie trzeciego stopnia jednak
wymagają one znajomości liczb zespolonych
Jeśli chcesz uniknąć arytmetyki zespolonej to musisz rozbić równanie ogólne na przypadki
tzw casus irreducibilis rozwiązać za pomocą funkcji trygonometrycznych
a pozostały przypadek sprowadzając do równania kwadratowego


1. Podstaw \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
aby otrzymać równanie postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
2. Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ y=u+v}\)
a równanie które otrzymasz przekształć w układ równań
który przypomina wzory Viete dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
Zamiast podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\) możesz użyć podstawienia \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
ale wtedy będziesz musiał uważać na zerowe pierwiastki otrzymanego trójmianu kwadratowego
3. Pozostałe pierwiastki możesz obliczyć albo dzieląc przez dwumian \(\displaystyle{ x-x_{0}}\)
albo korzystając z zespolonych pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
(Po znalezieniu pasujących u oraz v ,przyjrzyj się układowi równań
i zastanów się jak dobrać pierwiastki z jedynki aby otrzymać kolejne u oraz v)
\(\displaystyle{ \varepsilon_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }\\
\varepsilon_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }\\}\)

Co do metody z funkcjami trygonometrycznymi to korzystając np ze wzoru
\(\displaystyle{ \cos{\left( \alpha \pm \beta \right) }=\cos{ \alpha }\cos{ \beta }\mp\sin{ \alpha }\sin{ \beta }}\)
(jedynke trygonometryczną też można z tego wzoru wziąć)
znajdujesz wzór na \(\displaystyle{ \cos{3 \alpha }}\)

W równaniu postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
podstawiasz \(\displaystyle{ y=u\cos{ \alpha }}\)
i wyznaczasz takie u aby równanie przekształciło się we wzór na cosinus kąta potrojonego

[Dilectus]

Funkcja zysku, powiadasz... A co to jest iks w tym równaniu? Czy może być mniejszy od zera? Podaj najpierw dziedzinę tej funkcji, bo - być może - musi być \(\displaystyle{ x \ge 0}\)