rozwiąż nierówność

[angelikamizinska]

Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2} \ge \left| {2x+4}\right|}\)

[bartek118]

Dla \(\displaystyle{ x \ge -2}\) mamy \(\displaystyle{ x^3 + 4 \ge 2x+4}\). Po przekształceniu \(\displaystyle{ x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0}\). Czyli \(\displaystyle{ x in [ -sqrt{2}, 0] cup [sqrt{2}, infty )}\).
Natomiast dla \(\displaystyle{ x < -2}\) lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia, więc nierówność nie może mieć rozwiązań.

Ostatecznie: \(\displaystyle{ x in [ -sqrt{2}, 0] cup [sqrt{2}, infty )}\)

-- 7 kwi 2013, o 14:23 --

Ok, przed poprawą posta nie było \(\displaystyle{ x^2}\). Po uwzględnieniu tego jest:

Równoważnie: \(\displaystyle{ x^2 (x+2) \ge |2x+4|}\). Dla \(\displaystyle{ x < -2}\) lewa strona jest ujemna, a prawa dodatnia, więc nie ma rozwiązań. Niech zatem \(\displaystyle{ x \ge -2}\). Wtedy mamy: \(\displaystyle{ x^2 (x+2) \ge 2x+4}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ x^2 (x+2) \ge 2x+4 \\
x^2 (x+2) \ge 2(x+2) \\
(x+2)(x^2 - 2) \ge 0 \\
(x+2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x=-2}\) spełnia tę nierówność, a zakładając \(\displaystyle{ x > -2}\) mamy \(\displaystyle{ x+2 >0}\), więc \(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \ge 0}\). Stąd uwzględniając założenia \(\displaystyle{ x \geq \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ -2 \le x \le -\sqrt{2}}\) .

Ostatecznie: \(\displaystyle{ x in [-2, -sqrt{2}] cup [sqrt{2}, infty )}\).

[angelikamizinska]

Dzięki wielkie

[Dilectus]

Bartku, chyba się rąbnąłeś. Narysuj obie funkcje - tę z lewej i tę z prawej strony nierówności - w programie Graph. Zobaczysz wtedy, że nierówność ta jest spełniona tylko dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\)

[bartek118]

Bartku, chyba się rąbnąłeś. Narysuj obie funkcje - tę z lewej i tę z prawej strony nierówności - w programie Graph. Zobaczysz wtedy, że nierówność ta jest spełniona tylko dla \(\displaystyle{ x \ge 2}\)

Nieprawda. np. \(\displaystyle{ x=-2}\) też spełnia tę nierówność.

[Dilectus]

Masz rację, to ja się rąbnąłem, biorąc zamiast funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^3+2x^2}\), funkcję \(\displaystyle{ g(x)= x^3+x^2}\). Przepraszam...

[angelikamizinska]

czyli co się zmienia?

[Dilectus]

Nic się nie zmienia. Rozwiązanie Bartka jest dobre. To ja popełniłem błąd, biorąc inną funkcję.

[angelikamizinska]

Ok, to jeszcze raz dziękuje bardzo