Metoda rozkładu każdego wielomianu st.>=3

qwers · Post autor: **qwers** » 4 kwie 2013, o 20:58

Witam!
Mam pytanie czy istnieje jakiś sposób, który pozwalał by na rozkładanie każdego wielomianu stopnia równego lub większego od 3 (\(\displaystyle{ n \ge 3}\), gdzie n-stopień wielomianu) na czynniki?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 4 kwie 2013, o 21:10

Nie. Istnieją wzory na pierwiastki wielomianów trzeciego i czwartego stopnia, wyższych nie.

qwers · Post autor: **qwers** » 5 kwie 2013, o 11:21

Czy jest zatem jakiś sposób (np. jakiś wzór), który pozwala sprawdzić,
czy wielomian ma pierwiastki całkowite, czy pierwiastki wymierne,
czy też ma pierwiastki niewymierne? Można jakoś stwierdzić, do którego
rodzaju liczb należą pierwiastki wielomianu (jeśli istnieją oczywiście),
bez uprzedniego ich poszukiwania pierwiastków ?

smigol · Post autor: **smigol** » 5 kwie 2013, o 12:48

Każdy wielomian \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych. Jeśli chcemy mówić o pierwiastkach rzeczywistych, to łatwo można odpowiedzieć na pytanie czy wielomian o współczynnikach wymiernych ma pierwiastki całkowite/wymierne.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 14:08

Wielomian o całkowitych współczynnikach może mieć jedynie takie pierwiastki wymierne, które da się przedstawić jako iloraz dzielnika wolnego współczynnika (przy \(\displaystyle{ x^0)}\)) i dzielnika współczynnika przy \(\displaystyle{ x^n}\).

qwers · Post autor: **qwers** » 5 kwie 2013, o 18:24

Dobrze.

Ale, czy jest jakiś sposób, który pozwala stwierdzić czy dany wielomian ma pierwiastków tylko całkowite, czy ma też wymierne, czy może ma niewymierne? Jest jakiś wzór, albo jakaś zasada, która powie mi, że dany wielomian posiada, albo też nie posiada pierwiastków wymiernych (niewymiernych / całkowitych).

Jak sprawdzić czy dany wielomian wogóle posiada lub nie posiada pierwiastków całkowitych (bez wyznaczenia ich)?

(Mi chodzi o rozwiązania, które są liczbami rzeczywistymi.)

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2013, o 19:34

Całkowite muszą być dzielnikami wolnego wyrazu (dla wszystkich współczynników całkowitych) i tyle. Więcej ciekawych zasad raczej nie ma.

Post autor: **Ponewor** » 6 kwie 2013, o 19:28

Być może kryterium Eisensteina Cię zainteresuje.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 8 kwie 2013, o 22:55

Errichto pisze:Nie. Istnieją wzory na pierwiastki wielomianów trzeciego i czwartego stopnia, wyższych nie.

Na polskojęzycznych forach zapominacie o jednej dość istotnej rzeczy
Ogólne równanie wielomianowe stopnia większego niż cztery nie jest rozwiązywalne
przez pierwiastniki
Jeśli możemy używać tylko czterech działań arytmetycznych i wyciągania pierwiastków
to nie rozwiążemy równania wyższych stopni
Jeżeli możemy używać funkcji specjalnych to są metody które pozwalają
rozwiązać równanie wielomianowe dowolnego stopnia
jednak o tym na polskojęzycznych forach się nie pisze

Althorion · Post autor: **Althorion** » 8 kwie 2013, o 23:37

Policzyć wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu można za pomocą na przykład.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 8 kwie 2013, o 23:53

Za pomocą tw. Sturma można chyba policzyć liczbę pierwiastków (czy tam rozwiązań) wielomianu, ale bez komputera (algorytmu) to twierdzenie nie pozwala ich wyliczyć

Althorion · Post autor: **Althorion** » 8 kwie 2013, o 23:54

Tak jak piszesz. Policzyć to nie wyliczyć, w ten sposób się tylko dostanie wiedzę na temat liczby takich, nie zaś o ich postaci.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 8 kwie 2013, o 23:55

mea culpa, wybacz mój brak umiejętności czytania :/