wielomian stopnia 2015 podzielny przez wielomian

[wiola103]

Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)=x ^{2015}+x-1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ g\left( x\right)=x ^{2}-x+1}\)
Pomoże ktoś?

[szw1710]

Pierwiastki zespolone tego wielomianu to \(\displaystyle{ \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}}\). Zadanie dotyczy więc liczb zespolonych z wzorem de Moivre'a. Sprowadź je do postaci trygonometrycznej, podstaw do wzoru na \(\displaystyle{ W(x)}\) i pokaż, że są jego pierwiastkami. To wystarczy.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ g(x) =(x-e^{\frac{\pi i}{3}} )( x-e^{\frac{5\pi i}{3}} )}\)

[wiola103]

Nie da się prościej? Jestem dopiero w liceum, nie miałam takich abstrakcji :c

[szw1710]

Też się zastanawiałem. Rozwiązanie przez liczby zespolone jest prościutkie, ale zważywszy wiek, też miałem wątpliwości. Trzeba poszukać po głowie, ale już nie dziś

[wiola103]

Jutro również byłabym wdzięczna za jakieś wskazówki

[Qń]

Bez liczb zespolonych:

Oczywiście wielomian \(\displaystyle{ t^{671}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ t+1}\) (bo jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ -1}\)). W takim razie istnieje \(\displaystyle{ V(t)}\) takie, że:
\(\displaystyle{ t^{671}+1=(t+1)V(t)}\)
Podstawiając w tej równości \(\displaystyle{ t=x^3}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2013}+1 = (x^3+1)V(x^3)=(x+1)(x^2-x+1)V(x)}\)
co oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ x^{2013}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).

W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ x^{2015}+x-1=x^2(x^{2013}+1)-(x^2-x+1)}\)
czyli nasz wielomian jest różnicą dwóch wielomianów podzielnych przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\), a zatem sam też jest przez ten wielomian podzielny.

Q.

[wiola103]

Dziękuję ślicznie