Rozwiąż nierówność wielomianową z wartością bezwzględną.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 31 mar 2013, o 22:19

\(\displaystyle{ \left| x ^{3}-3x \right| \ge 2}\)

Jak się rozwiązuje taką nierówność?

Czy tak?:
\(\displaystyle{ D:x \in \left\langle - \sqrt{3},0 \right\rangle \cup \left\langle + \sqrt{3},+ \infty \right)}\)
dla \(\displaystyle{ x^{3} -3x \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \wedge}\)

\(\displaystyle{ \left( - \infty,- \sqrt{3} \right) \cup \left( 0,+ \sqrt{3} \right)}\) dla \(\displaystyle{ x^{3} -3x <0}\)

\(\displaystyle{ x^{3}-3x-2 \ge 0}\)

Sprawdzam z tw. o pierwiastkach całkowitych przy pomocy tw. Bezouta, że pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ -1}\)

Dzielę metodą Hornera i wychodzi \(\displaystyle{ \left( x+1\right)\left( x ^{2}-x-2 \right)}\)

Tutaj, w równaniu kwadratowym liczę pierwiastki z delty i mam \(\displaystyle{ \left( x+1\right) ^{2} \left( x -2 \right)}\)

Rysuję sobie oś OX, gdzie oznaczam pierwiastki i rysuję wykres pomocniczy.
z niego odczytuję \(\displaystyle{ x \in \left\langle 2,+ \infty \right) \cup \left\{ -1\right\}}\) co jest zgodne z dziedziną.

równanie \(\displaystyle{ x^{3}-3x+2 \ge 0}\) robię analogicznie dla drugiej części dziedziny.

Czy to jest prawidłowy tok myślenia? Zawsze niepewnie czuję się z nierównościami gdy mam wartość bezwzględną. Mam kłopot z poznaniem kiedy należy zmienić stronę znaku \(\displaystyle{ \ge}\) a kiedy nie.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 31 mar 2013, o 22:24

Tak na wstępie - to jest nierówność, a nie równanie.

Tok rozumowania jak najbardziej poprawny, właśnie tak to należy zrobić. Rachunki pobieżnie sprawdziłem, na 1.rzut oka są dobrze.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 31 mar 2013, o 22:28

cosinus90 pisze:Tak na wstępie - to jest nierówność, a nie równanie.

No tak. To znaczy, że coś jest liczone nie tak?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 31 mar 2013, o 22:30

Nie, po prostu poprawiam błędne słownictwo.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 31 mar 2013, o 22:54

A faktycznie, źle napisałem w opisie. Już poprawiłem. Na szczęście w tytule było dobrze;)

A czy druga część nierówności to będzie

\(\displaystyle{ x ^{3}-3x+2 \ge 0}\) czy \(\displaystyle{ x ^{3}-3x+2 \le 0}\)
i gdyby przy dwójce był x to jakby to wpłynęło na znak?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 31 mar 2013, o 23:03

W przypadku gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje znak ujemny, nierówność ma postać

\(\displaystyle{ -(x^3 - 3x) \ge 2}\), co po uproszczeniach daje
\(\displaystyle{ x^3 - 3x + 2 \le 0}\)

Gdyby przy dwójce był "iks", rozpatrywany przypadek w żaden sposób nie wpływa na jego znak - zmieniasz znak ewentualnie przy wyrażeniu w wartości bezwzględnej, którą rozpatrujesz.