Rozkład na czynniki

thigrand · Post autor: **thigrand** » 30 mar 2013, o 19:29

Rozłóż na czynniki wielomian W(x)
\(\displaystyle{ a)\ W(x)= x^{3}+2x ^{2} -7x+4\\
b)\ W(x)= 3x^{3}+13x ^{2} +7x+1}\)
Mam takie funkcje i nie wiem jak je rozłożyć. Nie dostrzegam tu ani możliwości grupowania, ani żadnych wzorów skróconego mnożenia.

Próbowałem znaleźć odpowiedź do tego zadania. Ale też bez rezultatu.

edith1423 · Post autor: **edith1423** » 30 mar 2013, o 19:38

Poczytaj o schemacie Hornera.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 30 mar 2013, o 19:49

Znam. Problemem jest to, że nie jest podane P(x)

edith1423 · Post autor: **edith1423** » 30 mar 2013, o 20:06

Szukasz sobie pierwiastka w a). Podpowiem, ze to będzie \(\displaystyle{ 1}\) I wpisujesz do schematu to i działasz. Jak nie rozumiesz, to pisz.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 30 mar 2013, o 20:07

Mając pierwiastek wiem co robić. Chciałbym się nauczyć jak znaleźć ten pierwiastek.
Twierdzenie Bezouta i jechane po kolei liczny naturalne? Bo wydaje się bez sensu taki pomysł przy mniej przyjaznych współczynnikach.

edith1423 · Post autor: **edith1423** » 30 mar 2013, o 20:08

Tak jak mówisz. Ale w przypadku a) to widać, ze to będzie \(\displaystyle{ 1}\). Proponuję sprawdzać zawsze na początku \(\displaystyle{ 1,-1,2,-2}\) ( no chyba że \(\displaystyle{ 2-jki}\) odpadają, no ale te \(\displaystyle{ 1-nki}\)warto), a potem rozpisywać te dzielniki wszystkie.

damianxb3 · Post autor: **damianxb3** » 30 mar 2013, o 20:12

Można grupowaniem, chociaż nie bardzo się opłaca:
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{3}+2x ^{2} -7x+4 = x^3 - 2x^2 + x + 4x^2 - 8x + 4 = x(x^2 - 2x + 1) + 4(x^2 - 2x + 1)}\)
b) \(\displaystyle{ W(x) = 3x^{3}+13x ^{2} +7x+1 = 3x^3 + x^2 + 12x^2 + 7x + 1 = x^2(3x+1) + 12 \left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right) = x^2(3x+1) + \left(3x+1\right)\left(4x+1 \right)}\)
Twierdzenie o pierwiastku całkowitym, twierdzenie o pierwiastku wymiernym jest tutaj zdecydowanie przydatne. A jak ani wymierny, ani całkowity to wzory Cardano.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 30 mar 2013, o 21:45

b) \(\displaystyle{ W(x) = 3x^{3}+13x ^{2} +7x+1 = 3x^3 + x^2 + 12x^2 + 7x + 1 = x^2(3x+1) + 12 \left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)}\)

Co tu się wydarzyło? jak to przekształciłeś
\(\displaystyle{ 12x^2 + 7x + 1 =12 \left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)}\)
Czy to ze wzorów Cardano? A jeśli nie to jak zauważyć, że tak to się przekształci? (sprawdziłem, że to jest prawdziwe przemnażając te nawiasy) Delta wychodzi ujemna, więc dlaczego wychodzą z tego pierwiastki?:D

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 30 mar 2013, o 21:59

Dodatnia.

thigrand · Post autor: **thigrand** » 30 mar 2013, o 22:09

Faktycznie, głupi błąd zrobiłem. Dzięki wszystkim za pomoc;)

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 30 mar 2013, o 22:27

Czasami łatwo znaleźć w ten sposób, że patrzysz ile współczynników jest dodatnich/ujemnych i jakie one są , w pierwszym mamy \(\displaystyle{ 1, 2, -7, 4}\) czyli widzimy, że jeżeli podstawimy jedynkę to nam się wyzeruje, bo suma współczynników dodatnich \(\displaystyle{ 1, 2, 4}\) i suma ujemnych \(\displaystyle{ -7}\) daje \(\displaystyle{ 0}\).