Funkcja z parametrem

reaperdie · Post autor: **reaperdie** » 24 mar 2013, o 23:35

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie
\(\displaystyle{ mx^4 - \left( 2m + 6\right)x^2 + 9 - m^2 = 0}\)

No i wyszło z podstawienia \(\displaystyle{ t}\) i twierdzenia Wezouta
\(\displaystyle{ \left( m + 3\right) \left( m^2 - 2m + 3\right) > 0}\)
Z tego jest pierwiastek tylko \(\displaystyle{ -3}\) więc dlaczego \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ -3\right\}}\) a nie \(\displaystyle{ m \in \left( -3 ; \infty \right)}\) ?
Kolejno żeby były cztery pierwiastki to \(\displaystyle{ t _{1} + t _{2} > 0}\) z czego wychodzi, że
\(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -3\right) \cup \left( 0 ; \infty \right)}\)
a z założenia \(\displaystyle{ t _{1}t _{2}> 0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -3\right) \cup \left( 0 ; 3\right)}\) więc skąd odpowiedź, że m ma należeć do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0 ; 3\right)}\)? Dlaczego wartości ujemne nie wchodzą w grę?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 mar 2013, o 23:45

Przede wszystkim, jakie jest pytanie do tego zadania? Bo chyba coś ucięło.

reaperdie · Post autor: **reaperdie** » 24 mar 2013, o 23:53

Pytanie o założenie z delty - jak wygląda wykres? Narysowałem prostą przecinającą punkt -3 i wtedy \(\displaystyle{ m \in \left( -3 ; \infty \right)}\), a nie tak ma być oraz drugie pytanie, dlaczego do rozwiązania nie mogą należeć wartości ujemne?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 mar 2013, o 23:57

Nadal nie do końca rozumiem, ale jeśli chodzi o założenie do "delty" tego równania, to rzecz jasna musi być ona nieujemna i po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^2}\) muszą wychodzić pierwiastki również nieujemne. Wobec tego oblicz deltę (chyba już to zrobiłeś zresztą) oraz skorzystaj ze wzorów Viete'a.
Jeśli to zrobiłeś i nadal nie widzisz błędu, to pokaż dokładnie swoje obliczenia, bo pewnie wkradł się jakiś błąd rachunkowy.

reaperdie · Post autor: **reaperdie** » 25 mar 2013, o 00:03

\(\displaystyle{ \Delta = m^3 + m^2 - 3m + 9 > 0}\)
Rozbiłem i wyszło \(\displaystyle{ \left( m + 3\right) \left( m^2 - 2m + 3\right) > 0}\) i z tego równania nie rozumiem dlaczego ma być z tego założenie: \(\displaystyle{ M \in R \setminus \left\{ -3\right\}}\) skoro sam rysując prostą w punkcie -3 odczytuję to co jest dodatnie - po prawej stronie wykresu: \(\displaystyle{ m \in \left( -3 ; \infty \right)}\)

Skorzystałem z wzorów Viete'a i pytam o końcowe rozwiązanie: dlaczego wykluczam wartości ujemne?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 mar 2013, o 00:33

Jeśli wszystko dobrze przepisałeś, to Twoje rozwiązanie jest jak najbardziej poprawne. Oczywiście przy założeniu, że wyjściowe równanie ma dawać 4 różne pierwiastki.
Odpowiedzi które podajesz są z książki ? Jeśli tak, to możliwe że jest błąd w odpowiedziach. Ale sprawdź jeszcze czy na pewno wszystko dobrze przepisałeś, łącznie z pytaniem.

reaperdie · Post autor: **reaperdie** » 25 mar 2013, o 00:42

Już wiem co pominąłem, tak równanie ma mieć cztery rozwiązania, odpowiedzi które podaję są z książki czyli \(\displaystyle{ m \in \left( 0 ; 3\right)}\)

więc podstawione t musi być > 0 i z tego powodu z części wspólnej usuwam wartości ujemne, okej tylko dalej pytanie do tego:
\(\displaystyle{ \left( m + 3\right) \left( m^2 - 2m + 3\right) > 0}\) - tutaj jest tylko jeden pierwiastek równy \(\displaystyle{ -3}\) więc jakie z tego równania powinno wyjść założenie ?
Bo według mnie - pomijając wszystkie inne założenia z tego zadania powinno wyjść z tego równania \(\displaystyle{ m \in \left( -3 ; \infty \right)}\)

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 mar 2013, o 00:46

Ta nierówność ma rozwiązanie \(\displaystyle{ m \in \left( -3, +\infty\right)}\).
Co do dodatniości parametru \(\displaystyle{ t}\) - oczywiście, ale nie rozumiem dlaczego masz usuwać wartości ujemne z nierówności, skoro ze wzorów Viete'a jasno wynika, że dla takiego przedziału wartości \(\displaystyle{ t}\) również są większe od zera.

reaperdie · Post autor: **reaperdie** » 25 mar 2013, o 00:50

Więc tak:
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ m \in \left( -3 ; \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ t _{1} + t _{2} > 0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -3\right) \cup \left( 0 ; \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ t _{1}t _{2} > 0}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -3\right) \cup \left( 0 ; 3\right)}\)
i z tego część wspólna to \(\displaystyle{ \left( 0 ; 3\right)}\) pasuje

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 mar 2013, o 00:52

No tak, z uwzględnieniem delty to oczywiście należy odrzucić ujemne przedziały. Myślałem, że mówisz tylko o składowych przedziałach z drugiego i trzeciego warunku.
W takim razie rozumiem, że wszystko jasne, skoro odpowiedź zgadza się z książką.