wielomian, trudne

[tukanik]

Witam,
Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^7 + ax^5 + bx^3 + cx + 7}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^2 + x + 1.}\) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian\(\displaystyle{ x^2 - x + 1.}\)

[Qń]

Można użyć liczb zespolonych, można też skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ x^4+x^2+1= (x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
dzięki któremu łatwo znaleźć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) i korzystając z tego, że jest równa zero otrzymać, że \(\displaystyle{ a=c+1, b=c-6}\).

W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ W(x)= x^7+x^5-6x^3+7 +c(x^5+x^3+x)}\)
Wielomian w nawiasie na mocy początkowej uwagi dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\), wystarczy zatem podzielić z resztą ten wcześniejszy:
\(\displaystyle{ x^7+x^5-6x^3+7 = x^3(x^4+x^2+1) -7(x^3+1)+14}\)
skąd widać, że reszta jest równa \(\displaystyle{ 14}\).

Q.

[tukanik]

Można użyć liczb zespolonych, można też skorzystać z faktu, że:
\(\displaystyle{ x^4+x^2+1= (x^2+x+1)(x^2-x+1)}\)
dzięki któremu łatwo znaleźć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez\(\displaystyle{ x^2+x+1}\) i korzystając z tego, że jest równa zero otrzymać, że\(\displaystyle{ a=c+1, b=c-6.}\)

Nie rozumiem, skąd wynika to, że reszta jest równa zero.

[Qń]

No jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), to znaczy, że reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) jest równa zero - to definicja podzielności wielomianów.

Q.

[tukanik]

Wiem co to znaczy, ale nie rozumiem, jak to wciągamy do zadnia.

[cosinus90]

Po prostu dzielisz ten wielomian przez \(\displaystyle{ x^2 + x + 1}\).

[Qń]

\(\displaystyle{ x^7 + ax^5 + bx^3 + cx + 7= x^3(x^4+x^2+1) +(a-1)x^5+(b-1)x^3+ cx+ 7 =\\ =
x^3(x^4+x^2+1) +(a-1)x(x^4+x^2+1)+(b-a)x^3+ (c-a+1)x+ 7 =\\ =
x^3\underline{(x^4+x^2+1)} +(a-1)x\underline{(x^4+x^2+1)}+(b-a)\underline{(x^3-1)}+ (c-a+1)x+ 7+b-a}\)

Podkreślone wyrażenia są podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), zatem resztą z dzielenia jest \(\displaystyle{ (c-a+1)x+ 7+b-a}\).

Oczywiście można też było na piechotę dzielić pisemnie przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), ale to więcej pracy.

Q.

[kamil13151]

Można też inaczej: wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)Q(x)}\), biorąc przeciwny argument dostajemy: \(\displaystyle{ W(-x)=(x^2-x+1)Q(-x)}\) co możemy zapisać jako \(\displaystyle{ -W(-x)=-(x^2-x+1)Q(-x)}\). Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ -W(-x)=W(x)-14}\), a z tego wynika: \(\displaystyle{ W(x)=-(x^2-x+1)Q(-x)+14}\).

[Qń]

No tak, zdecydowanie bardziej elegancko.

Q.