wielomian, zadano

tukanik · Post autor: **tukanik** » 20 mar 2013, o 22:18

Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 6x^4 + 10x^3 + ax^2 -15x + b}\) jest podzielny przez trójmian\(\displaystyle{ P( x ) = 3x^2 +5x -7}\). Wyznacz liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 mar 2013, o 22:33

\(\displaystyle{ P(x)}\) ma pierwiastki ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 mar 2013, o 22:51

\(\displaystyle{ P(x)}\) ma nieładne pierwiastki. Lepiej wykonać dzielenie i wymusić zerową resztę.

Ja natomiast znalazłem wynik dzielenia przez grupowanie, musi wyjść \(\displaystyle{ 2x^2-3}\). Stąd łatwo dało się odczytać \(\displaystyle{ a=-23, b=21}\)

tukanik · Post autor: **tukanik** » 20 mar 2013, o 23:35

a możesz pokazać mi to dzielenie przez grupowanie?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 20 mar 2013, o 23:48

Łatwo wydzielić z wyjściowego wielomianu kawałek

\(\displaystyle{ 2x^2(3x^2+5x-7)}\)

gdyż dwa pierwsze składniki pokrywają się z odpowiednimi danego wielomianu.

pozostaje z wyjściowego wielomianu do grupowania

\(\displaystyle{ dx^2-15x+b}\)

gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest jakąś liczbą, nie jest ważne, jaką. Ponieważ ten kawałek też ma być podzielny przez

\(\displaystyle{ 3x^2+5x-7}\)

to przez porównanie współczynników widać, że

\(\displaystyle{ dx^2-15x+b=-3(3x^2+5x-7)}\)

a zatem wyjściowy wielomian ma następujący rozkład:

\(\displaystyle{ 2x^2(3x^2+5x-7)-3(3x^2+5x-7)}\)

Stąd łatwo wyliczyć wszystkie współczynniki.

Całe to rozwiązanie jest "trikowe", zamiast niego można zrobić ręczne dzielenie i dojść do tego samego bez doszukiwania się rozkładu, który ja znalazłem przez ogląd. A w pamięci dzielić wielomianów nie potrafię, więc wymyśliłem coś takiego.