Wyznaczanie wielomianu mając dane punkty przegięcia.

[sebekkk]

Witam,

mam spory problem z rozwiązaniem poniższego problemu, bardzo proszę niekoniecznie o samo rozwiązanie, ale podpowiedź w jaki sposób można ugryźć to zadanie.

Dane są trzy punkty (1,0), (3,3), (4,1). Należy wyznaczyć wielomian, który w tych punktach posiada punkty przegięcia lub punkty ekstremalne. Trzeba też wyznaczyć jaki jest minimalny stopień tego wielomianu. Z tego co już udało mi się wyczytać, minimalny stopień wielomianu będzie 4, taka, ale dalszej części już nie jestem w stanie ruszyć.

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ W'' (x) =a(x-1)(x-3)(x-4) =a(x^3 -8x^2 +19x -12 )}\)
\(\displaystyle{ W'(x) =a\left( \frac{x^4}{4} -\frac{8}{3} x^3 +\frac{19}{2}x^2 -12 x+c_1\right)}\)
\(\displaystyle{ W(x) =a\left( \frac{x^5}{20} -\frac{2}{3} x^4 +\frac{19}{6}x^3 -6x^2+c_1 x +c_2\right)}\)
więc
\(\displaystyle{ W(x) =-\frac{7}{326}\left( \frac{x^5}{20} -\frac{2}{3} x^4 +\frac{19}{6}x^3 -6x^2-\frac{1737}{140} x +\frac{111}{7}\right)}\)

[sebekkk]

Czy mógłbym jeszcze poprosić o krótkie omówienie rozwiązania? Rozumiem, że obliczanie są rozpoczęte od drugiej pochodnej, z warunku na istnienie przegięcia funkcji, miejsca zerowe przy drugiej pochodnej? następnie podwójnie całkowane, tak aby dojść do wzoru ogólnego wielomianu? ale najbardziej interesuje mnie sposób wyznaczenia współczynników 'a', oraz współczynników całkowania?

Dziękuje i pozdrawiam,

[brzoskwinka1]

Trzeba skorzystać z warunków: \(\displaystyle{ W(1) =0 , W(3)=3 , W(4)=1 .}\)

[sebekkk]

Świetnie, bardzo, bardzo dziękuję za pomoc.

Pozdrawiam