Równanie wielomian

pawlaczyna9 · Post autor: **pawlaczyna9** » 9 mar 2013, o 17:16

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 3x ^3 + x^2 + 4x - 4 = 0}\)
Cześć, mam problem z tym przykładem. Korzystałem z twierdzenia Bezouta, ale nic mi nie wychodzi. Prosiłbym też o jakieś wyjaśnienie. Z góry dzięki.

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 9 mar 2013, o 17:57

Na początek dobrze by było znaleźć jeden z pierwiastków tego wielomianu. Poszukaj pierwiastków wśród całkowitych i wymiernych. W razie problemów spójrz na poniższą podpowiedź:

Ukryta treść:

Po znalezieniu tego pierwastka spróbuj zapisać ten wielomian równoważnie jako iloczyn wielomianu stopnia pierwszego (tj. \(\displaystyle{ x-x_1}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1}\) to znaleziony przez Ciebie pierwiastek) i drugiego (znajdujesz go dzieląc Twój wielomian przez wielomian \(\displaystyle{ x-x_1}\)), korzystając z twierdzenia Bezout. Następnie zastanów się czy ten wielomian stopnia drugiego ma rozwiązania (np. policz deltę) w dziedzinie liczb rzeczywistych.

pawlaczyna9 · Post autor: **pawlaczyna9** » 9 mar 2013, o 18:23

Czyli jak całkowite dzielniki (tutaj -4) po podstawieniu do równania nie dadzą 0 to muszę szukać w wymiernych?

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 9 mar 2013, o 19:37

Dokładnie tak.

pawlaczyna9 · Post autor: **pawlaczyna9** » 10 mar 2013, o 11:16

Żeby nie zakładać już nowego tematu to jeszcze jedna sprawa.
Rozwiąż nierówność, chodzi o nierówności wielomianowe. Nie dam rady znaleźć pierwiastków.

\(\displaystyle{ (x^2 - 5x +6)(x^2-1) \le 0}\)

radwaw · Post autor: **radwaw** » 10 mar 2013, o 11:29

\(\displaystyle{ (x^2 - 5x +6)(x^2-1) \le 0 \Leftrightarrow (x^2-5x+6)(x-1)(x+1) \le 0}\)
(różnica kwadratów)

\(\displaystyle{ (x^2-5x+6)(x-1)(x+1) \le 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)(x-1)(x+1) \le 0}\)
albo zgadując z pomocą Viete'a (suma pierwiastków wynosi pięć a ilch iloczyn 6)
albo deltą ( \(\displaystyle{ \Delta = 25-4 \times 6=1}\))

dalej zwyczajnie : zaznacz na osi pierwiastki narysuj sobie orientacyjnie wykres funkcji (daleko po prawej jest z pewnością dodatni przecina oś w 3 i jest ujemny potem przecina oś w 2 i jest dodatni itd.