Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{3} + bx ^{2} + cx + d}\) są trzy kolejne liczby naturalne. Wyznacz te liczby, jeśli reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\) jest równa \(\displaystyle{ -12}\)
\(\displaystyle{ W(1) = -12}\)
pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny?
pierwiastkami wielomianu są kolejne liczby naturalne
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
pierwiastkami wielomianu są kolejne liczby naturalne
Tak, tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ 1}\)
Załóżmy że pierwiastki wielomianu to \(\displaystyle{ a, \ a+1, \ a+2}\). Wtedy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawiony w postaci iloczynowej wygląda tak:
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-a)(x-a-1)(x-a-2)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ W(1)=-12}\), to
\(\displaystyle{ -12=2(1-a)(1-a-1)(1-a-2)}\)
z tego równania znajdujesz \(\displaystyle{ a}\), potem znając \(\displaystyle{ a}\) wyliczasz pierwiastki, a następnie sprowadzasz wielomian z postaci iloczynowej do postaci ogólnej, z postaci ogólnej odczytujesz szukane \(\displaystyle{ b, \ c, \ d}\).
Załóżmy że pierwiastki wielomianu to \(\displaystyle{ a, \ a+1, \ a+2}\). Wtedy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przedstawiony w postaci iloczynowej wygląda tak:
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-a)(x-a-1)(x-a-2)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ W(1)=-12}\), to
\(\displaystyle{ -12=2(1-a)(1-a-1)(1-a-2)}\)
z tego równania znajdujesz \(\displaystyle{ a}\), potem znając \(\displaystyle{ a}\) wyliczasz pierwiastki, a następnie sprowadzasz wielomian z postaci iloczynowej do postaci ogólnej, z postaci ogólnej odczytujesz szukane \(\displaystyle{ b, \ c, \ d}\).