Oblicz resztę z dzielenia

[Przemo04]

Witam, chciałbym aby ktoś mi pomógł to rozwiązać.

Zad. Oblicz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-3)}\) jeżeli \(\displaystyle{ W(-2)=3, \ \ \ W(3)=5}\)

Kompletnie nie wiem jak sie za to zabrać, bardzo proszę o rozwiązanie zadania i wytłumaczenie jak to sie robi.
z góry dzieki za pomoc

[loitzl9006]

Przy rozwiązywaniu tego typu zadań musisz mieć świadomość, że reszta z dzielenia jakiegoś wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), jest stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\).

Przykładowo:

- jeśli dzielisz \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian stopnia drugiego, np. \(\displaystyle{ (x+2)(x-3)}\), to przyjmujesz że reszta jest wielomianem stopnia pierwszego, czyli \(\displaystyle{ ax+b}\).
- jeżeli dzielisz przez wielomian pierwszego stopnia, to wtedy reszta jest stopnia zerowego itp.

Przypominamy sobie twierdzenie o rozkładzie wielomianu

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x) + R(x)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ W(x)}\) - wielomian który dzielimy
\(\displaystyle{ P(x)}\) - wielomian, przez który dzielimy, u nas \(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-3)}\)
\(\displaystyle{ Q(x)}\) - wielomian który jest wynikiem dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\)
\(\displaystyle{ R(x)}\) - reszta z dzielenia, u nas \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

a więc

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-3)\cdot Q(x) + ax+b}\)

z danych wynika, że

\(\displaystyle{ 3= \blue (-2+2)(-2-3)\cdot Q(x) \black -2a+b \\ 5= \blue (3+2)(3-3) \cdot Q(x) \black +3a+b}\)

To co na niebiesko, jest równe zero (dlaczego?), zostaje nam układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a, \ b}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=-2a+b \\ 5=3a+b \end{cases}}\)

Rozwiązujesz, i wstawiasz wyznaczone \(\displaystyle{ a, \ b}\) do \(\displaystyle{ ax+b}\) i masz wyznaczoną resztę.

[Przemo04]

Pięknie wytłumaczone, wielkie dzięki