równanie 4. stopnia

[tukanik]

Witam
Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x^4 - (a + 1) x^2 + 4}\) ma cztery różne pierwiastki.
Wiem, żeby wprowadzić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t = x^2}\)
I później liczę deltę dla równania z pomocniczą i zapewniam warunek, że rozwiązania równania ze zmienną pomocniczą t są dodatnie. Stąd pytania:
1) Skąd wiadomo, że skoro delta dla pomocniczego większa od zera to również nasze macierzyste ma dwa miejsca zerowe?
2) Skąd taki zabieg z zapewnianiem tego, że rozwiązania są dodatnie?


3)*
Jeśli miałbym zapewnić, że są tylko dwa różne, to mam dwa pomysły:
* \(\displaystyle{ delta = 0}\) i współrzędna wierzchołka\(\displaystyle{ x > 0}\). ( pomocniczego)
albo też:
* delta większa od zera i zapewnienie, że jedno miejsce zerowe jest dodatnie, a drugie ujemne. ( pomocniczego)
Rozumowanie ok?
4)*Jeśli miałbym zapewnić, że nie ma rozwiązań, to:
*delta pomocniczego mniejsza od zera
albo
*delta większa od zera i pierwiastki ujemne ( pomocniczego).
Rozumowanie ok?
5) A jakbym miał zapewnić, że są dwa różne, i jeden dwukrotny?
Pozdrawiam!

[Igor V]

Musisz dołożyć wzory Vietea

[k3fe]

Witam
Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x^4 - (a + 1) x^2 + 4}\) ma cztery różne pierwiastki

Czegoś brakuje jeżeli to równanie.

1) Skąd wiadomo, że skoro delta dla pomocniczego większa od zera to również nasze macierzyste ma dwa miejsca zerowe?

Nie wiadomo, jeżeli rozwiązania pomocniczego równania będą ujemne, to początkowe równanie nie będzie miało w ogóle rozwiązań ( \(\displaystyle{ t=x^2}\), a z liczby ujemnej nie wyciągniesz pierwiastka)

2) Skąd taki zabieg z zapewnianiem tego, że rozwiązania są dodatnie?

Jeżeli \(\displaystyle{ t_1>0\ \wedge \ t_2>0}\) to z każdego \(\displaystyle{ t}\) dostaniemy dwa \(\displaystyle{ x}\)-sy będące przeciwnymi liczbami (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\))

3)*
Jeśli miałbym zapewnić, że są tylko dwa różne, to mam dwa pomysły:
* \(\displaystyle{ delta = 0}\) i współrzędna wierzchołka\(\displaystyle{ x > 0}\). ( pomocniczego)
albo też:
* delta większa od zera i zapewnienie, że jedno miejsce zerowe jest dodatnie, a drugie ujemne. ( pomocniczego)
Rozumowanie ok?

ok

4)*Jeśli miałbym zapewnić, że nie ma rozwiązań, to:
*delta pomocniczego mniejsza od zera
albo
*delta większa od zera i pierwiastki ujemne ( pomocniczego).
Rozumowanie ok?

ok

5) A jakbym miał zapewnić, że są dwa różne, i jeden dwukrotny?
Pozdrawiam!

Równanie pomocnicze powinno mieć dwa dodatnie pierwiastki i trzecie będące zerem.