Funkcje wielomianowe

[koksiu15]

wykaż że wielomian \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\)dzieli się przez 5.\(\displaystyle{ n \in N}\)

[szw1710]

Czyli inaczej reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ n^5}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) jest taka sama, jak reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 5}\). To łatwo sprawdzić działaniem modulo. Wystarczy sprawdzić na resztach, jakie daje \(\displaystyle{ n}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\).

\(\displaystyle{ 0^5=0}\) daje resztę \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ 1^5=1}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ 2^5=32}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ 3^5=243}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\)

\(\displaystyle{ 4^5=1024}\) daje resztę \(\displaystyle{ 4}\)

W każdym przypadku \(\displaystyle{ n^5}\) daje w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) identyczną resztę, jak \(\displaystyle{ n}\).

To tylko wskazówka - formalizację pozostawiam Tobie.

[Ponewor]

Dwie inne propozycje:

1. Wyłączyć \(\displaystyle{ n}\) przed nawias, a potem ładnie rozłożyć (przydadzą się wzory skróconego mnożenia i trochę eleganckiego sprytu).
2. Skorzystać, a raczej wystrzelić z Małego Twierdzenia Fermata.

[yorgin]

Jeszcze inaczej: klasycznie indukcją.

[koksiu15]

ten pomysł 1 był najbardziej sprytny według mnie .sprawdza sie też dla \(\displaystyle{ n ^{3} -n}\) wykazanie że podzielne przez 3 .choć to można łatwo rożłożyć.Ale i dla\(\displaystyle{ n ^{7}-n}\) wykazanie ze podzielne przez 7