Wielomiany i ciagi

[kubajunior]

Współczynniki \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{3} -bx ^{2} -cx+d}\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ r}\). Wykaż, ,że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Ile pierwiastków ma ten wielomian jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ ar>0}\)?

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ W(1) = a - b - c + d = a - (a+r) - (a+2r) + (a + 3r) = a - a - r - a - 2r + a + 3r = 0}\)

[jarek4700]

Teraz jak już wiesz że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu to wiesz również że wielomian ten podzieli się przez \(\displaystyle{ (x-1)}\). Ja podzieliłem i wyszło mi w że takim razie:
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)[ax ^{2} +(a-b)x + a-b-c]}\). Mam nadzieję że się nie pomyliłem ale to sprawdź. Żeby teraz odpowiedzieć na pytanie ile pierwiastków ma wielomian trzeba zbadać ile pierwiastków ma wyrażenie w nawiasie kwadratowym wyżej (jego pierwiastki są bowiem także pierwiastkami wielomianu). Mi wyszło że ten trójmian ma dwa pierwiastki ponieważ jego wyróżnik (delta) wynosi: \(\displaystyle{ 4a ^{2} + 12ar + r ^{2}}\) , a więc jest większy od zera gdyż \(\displaystyle{ ar>0}\).
Tak więc wielomian będzie miał trzy pierwiastki chyba że jednym z pierwiastków trójmianu będzie \(\displaystyle{ 1}\) to wtedy będzie miał dwa w czym jeden podwójny. Łatwo jednak sprawdzić że po podstawieniu \(\displaystyle{ 1}\) za \(\displaystyle{ x}\) w trójmianie otrzymasz \(\displaystyle{ 3a-2b-c = 3a - 2(a+r) - (a+2r) = -4r \neq 0}\) a więc \(\displaystyle{ 1}\) nie jest pierwiastkiem trójmianu zatem wielomian ma trzy pierwiastki.

[kubajunior]

Super wszystko rozumiem do momentu tego podstawienia końcowego jedynki do trójmianu, do którego to podstawiasz i dlaczego własnie to pozwala Ci stwierdzić, że 1 nie jest pierwiastkiem wielokrotnym?

[jarek4700]

Jedynkę podstawiam do trójmianu z nawiasu kwadratowego: \(\displaystyle{ ax ^{2} + (a-b)x + a - b - c}\).
Załóżmy że ten trójmian ma pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}}\).
Zatem znając postać iloczynową trójmianu można go zapisać jako \(\displaystyle{ A(x-x _{1} )(x-x _{2} )}\).
Czyli:
\(\displaystyle{ W(x) = A(x-1)(x-x _{1})(x-x _{2} )}\).
Gdyby teraz okazało się że \(\displaystyle{ x _{1} = 1}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ W(x) = A(x-1) ^{2} (x-x _{2})}\) . Podobnie by było gdyby \(\displaystyle{ x _{2} = 1}\). W każdym z tych wypadków trójmian miałby dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ x _{1}}\) (lub \(\displaystyle{ x _{2}}\)).