znajdź wielomian

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

znajdź wielomian

Post autor: waliant »

Znajdź wielomian rzeczywisty \(\displaystyle{ W(x)}\) najniższego stopnia, taki że odpowiadający mu wielomian zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ W(z)}\) o tych samych współczynnikach co \(\displaystyle{ W(x)}\) ma wśród swoich pierwiastków liczby: \(\displaystyle{ 1+i,1-i,i,2}\) oraz \(\displaystyle{ W(0)=8}\).


Z tego co rozumiem skoro wielomian zespolony ma te same współczynniki co wielomian rzeczywisty to są to współczynniki rzeczywiste, a wielomian o współczynnikach rzeczywistych jeśli ma pierwiastek który jest liczbą zespoloną to ma także pierwiastek który jest sprzężeniem tej liczby, zatem wstępnie nasz wielomian powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (x-(1+i))(x-(1-i))(x-i)(x+i)(x-2)}\) , ale z tego co pamiętam to tutaj nie będzie spełnione założenie \(\displaystyle{ W(0)=8}\) i trzeba będzie \(\displaystyle{ 2}\) zrobić pierwiastkiem drugiego stopnia. Czy to jest dobrze?
szw1710

znajdź wielomian

Post autor: szw1710 »

Nie. Oczywiście, że powołujesz się na właściwe twierdzenie. Ale zauważ, że \(\displaystyle{ W(0)}\) to wyraz wolny. On jest iloczynem wszystkich pierwiastków (tu z minusem). A więc Iloczyn wszystkich pierwiastków ma wartość \(\displaystyle{ -8}\). Ten efekt osiągniesz mnożąc Twój iloczyn przez odpowiednio dobraną liczbę. A więc to wyłącznie kwestia współczynnika wiodącego (tego przy najwyższej potędze).
Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 321 razy

znajdź wielomian

Post autor: bb314 »

\(\displaystyle{ W(0)}\) to jest wartość wyrazu wolnego wielomianu, który jest iloczynem wszystkich pierwiastków i współczynnika przy najwyższej potędze iksa
\(\displaystyle{ -(1+i)(1-i)\cdot i\cdot(-i)\cdot2=-4}\) więc brakuje jeszcze jednego czynnika \(\displaystyle{ =-2}\)

w ten sposób wielomian będzie mieć stopień piąty i zacznie się od \(\displaystyle{ -2x^5}\)


szw1710 ma rację, zjadłam minus (on musi być, gdyź pierwiastków jest nieparzysta ilość), już poprawiam
Ostatnio zmieniony 11 lut 2013, o 20:49 przez bb314, łącznie zmieniany 1 raz.
szw1710

znajdź wielomian

Post autor: szw1710 »

Małe zamieszanie powstało. bb314 ma rację pisząc o wyrazie wolnym. Ja odniosłem się do wielomianu, który zapisał waliant, a tam współczynnik wiodący wynosi jeden. Ale... wyrazem wolnym wielomianu

\(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)}\)

jest \(\displaystyle{ -ax_1x_2x_3x_4x_5}\) (wartość w zerze). bb314, zabrakło Ci chyba tego minusa. Albo jestem zmęczony i źle widzę
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

znajdź wielomian

Post autor: waliant »

dzięki teraz rozumiem, moje też byłoby w porządku gdyby nie wymóg znalezienia najniższego możliwego stopnia
ODPOWIEDZ