Znajdź wielomian rzeczywisty \(\displaystyle{ W(x)}\) najniższego stopnia, taki że odpowiadający mu wielomian zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ W(z)}\) o tych samych współczynnikach co \(\displaystyle{ W(x)}\) ma wśród swoich pierwiastków liczby: \(\displaystyle{ 1+i,1-i,i,2}\) oraz \(\displaystyle{ W(0)=8}\).
Z tego co rozumiem skoro wielomian zespolony ma te same współczynniki co wielomian rzeczywisty to są to współczynniki rzeczywiste, a wielomian o współczynnikach rzeczywistych jeśli ma pierwiastek który jest liczbą zespoloną to ma także pierwiastek który jest sprzężeniem tej liczby, zatem wstępnie nasz wielomian powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ (x-(1+i))(x-(1-i))(x-i)(x+i)(x-2)}\) , ale z tego co pamiętam to tutaj nie będzie spełnione założenie \(\displaystyle{ W(0)=8}\) i trzeba będzie \(\displaystyle{ 2}\) zrobić pierwiastkiem drugiego stopnia. Czy to jest dobrze?
znajdź wielomian
znajdź wielomian
Nie. Oczywiście, że powołujesz się na właściwe twierdzenie. Ale zauważ, że \(\displaystyle{ W(0)}\) to wyraz wolny. On jest iloczynem wszystkich pierwiastków (tu z minusem). A więc Iloczyn wszystkich pierwiastków ma wartość \(\displaystyle{ -8}\). Ten efekt osiągniesz mnożąc Twój iloczyn przez odpowiednio dobraną liczbę. A więc to wyłącznie kwestia współczynnika wiodącego (tego przy najwyższej potędze).
- bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
znajdź wielomian
\(\displaystyle{ W(0)}\) to jest wartość wyrazu wolnego wielomianu, który jest iloczynem wszystkich pierwiastków i współczynnika przy najwyższej potędze iksa
\(\displaystyle{ -(1+i)(1-i)\cdot i\cdot(-i)\cdot2=-4}\) więc brakuje jeszcze jednego czynnika \(\displaystyle{ =-2}\)
w ten sposób wielomian będzie mieć stopień piąty i zacznie się od \(\displaystyle{ -2x^5}\)
szw1710 ma rację, zjadłam minus (on musi być, gdyź pierwiastków jest nieparzysta ilość), już poprawiam
\(\displaystyle{ -(1+i)(1-i)\cdot i\cdot(-i)\cdot2=-4}\) więc brakuje jeszcze jednego czynnika \(\displaystyle{ =-2}\)
w ten sposób wielomian będzie mieć stopień piąty i zacznie się od \(\displaystyle{ -2x^5}\)
szw1710 ma rację, zjadłam minus (on musi być, gdyź pierwiastków jest nieparzysta ilość), już poprawiam
Ostatnio zmieniony 11 lut 2013, o 20:49 przez bb314, łącznie zmieniany 1 raz.
znajdź wielomian
Małe zamieszanie powstało. bb314 ma rację pisząc o wyrazie wolnym. Ja odniosłem się do wielomianu, który zapisał waliant, a tam współczynnik wiodący wynosi jeden. Ale... wyrazem wolnym wielomianu
\(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)}\)
jest \(\displaystyle{ -ax_1x_2x_3x_4x_5}\) (wartość w zerze). bb314, zabrakło Ci chyba tego minusa. Albo jestem zmęczony i źle widzę
\(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)}\)
jest \(\displaystyle{ -ax_1x_2x_3x_4x_5}\) (wartość w zerze). bb314, zabrakło Ci chyba tego minusa. Albo jestem zmęczony i źle widzę