3 rozne pierwiastki

[dzun]

Witam,
mam takie zadanko:
dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{5} + (1 - 2m)x^{3} + (m^{2} - 1)x = 0}\) ma \(\displaystyle{ 3}\) różne pierwiastki rzeczywiste

\(\displaystyle{ x(x^{4} + (1 - 2m)x^{2} + (m^{2} - 1)) = 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = t}\)
\(\displaystyle{ t^{2} + (1 - 2m)t + m^{2} - 1 = 0}\)
zał:
1. \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
\(\displaystyle{ t_{1}t_{2} < 0}\) (dwa różne pierwiastki) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow m \in \{-1, 1\}}\)

2. \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ t > 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}}\)

Odp.\(\displaystyle{ m \in (-1, 1) \cup \left\{ \frac{5}{4} \right\}}\)

nie rozumiem 2 warunku \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) i \(\displaystyle{ t > 0}\)

[ZaxHunter]

Pamiętaj że \(\displaystyle{ t=x^2}\) dlatego jeśli w warunku 2. \(\displaystyle{ \Delta=0}\) równanie z \(\displaystyle{ t}\) ma jedno rozwiązanie, a więc dla \(\displaystyle{ t>0}\) znajdziemy dwa różne \(\displaystyle{ x}\) spełniające równanie (\(\displaystyle{ \sqrt{t}}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{t}}\)) trzecim rozwiązaniem jest oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) wyłączony przed nawias.

[dzun]

dalej nic nie rozumiem

[piasek101]

Równanie kwadratowe masz z podstawienia - było czwartego stopnia.

Zauważ, że gdy kwadratowe miałoby dwa ujemne rozwiązania to wyjściowe z x-sem nie miałoby żadnego.

Podobnie - jeśli kwadratowe miałoby jedno ujemne to nici z rozwiązań wyjściowego.

Ale jeśli ma jedno dodatnie (np. 9) to wyjściowe ma dwa, bo masz \(\displaystyle{ x^2=9}\).

[dzun]

dzieki ;]
teraz mam takie jedno pytanie, po co 2 warunek na \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) skoro przed nawiasem jest już wiadome, że \(\displaystyle{ x = 0}\)?

[piasek101]

Ale to w nawiasie ma mieć jeden pierwiastek (tu dodatkowo dodatni - bo treść).

[dzun]

ale mam wyliczone dwa pierwiastki z delty i jeden pierwiastek przed nawiasem, wiec po co 2 warunek?

[piasek101]

To są różne przypadki.

1) ..................

lub

2) .................

Do odpowiedzi suma uzyskanych.

[dzun]

skoro \(\displaystyle{ x^{2} = t}\), to dlaczego \(\displaystyle{ t_{1}t_{2} < 0}\) ?
Patrzymy na warunek \(\displaystyle{ x^{2} = t}\) dopiero później czy jak?

[bb314]

\(\displaystyle{ \blue x^{5} + (1 - 2m)x^{3} + (m^{2} - 1)x = 0}\)

\(\displaystyle{ xleft[x^4+(1 - 2m)x^2+(m^2-1) = 0 green Rightarrow
ed x_1=0}\) pierwiastek rzeczywisty

lub
\(\displaystyle{ x^2=t}\)
\(\displaystyle{ t^2+(1 - 2m)t+(m^2-1) = 0}\)

to równanie musi dać jeden pierwiastek dodatni i jeden ujemny, bo z tego ujemnego nie będzie pierwiastka
kwadratowego (\(\displaystyle{ t<0\ \to\ \ x^2<0\ \to}\) brak rozwiązań rzeczywistych),
a z dodatniego będą dwa pierwiastki rzeczywiste \(\displaystyle{ x=\sqrt t\ \ \vee\ \ x=-\sqrt t}\)

czyli warunki takie
\(\displaystyle{ \Delta >0\ \wedge \ \ t_1\cdot t_2<0\ \ \to\ \ x_2=\sqrt{t_2}\ \ \vee\ \ x_3=-\sqrt{t_2}}\)

lub
\(\displaystyle{ \Delta=0\ \ \wedge\ \ t_1+t_2>0}\) co daje \(\displaystyle{ t_1=t_2\ \ \to\ \ x_2=\sqrt{t_2}\ \ \vee\ \ x_3=-\sqrt{t_2}}\)

[dzun]

dzięki wreszcie zakapowałem