dla jakich a i b równanie

davidd · Post autor: **davidd** » 8 lut 2013, o 13:37

Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{3} + ax + b = 0}\) ma trzy pierwiastki takie, że:
\(\displaystyle{ x _{1} = x _{2} = x _{3} + 6}\) ?

Czy \(\displaystyle{ 0}\) będzie jednym z pierwiastków?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 8 lut 2013, o 15:23

Ze wzorów Viete'a:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=3x_1-6=0\Rightarrow x_1=x_2=2,\,x_3=-4\\\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-12=a\\\\
-x_1x_2x_3=16=b}\)

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 8 lut 2013, o 15:25

Skorzystaj z równości wielomianów, tzn...:
Oznaczając \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +ax+b}\), \(\displaystyle{ W(x)}\) ma max. 3 pierwiastki. Zapisz \(\displaystyle{ W(x)}\) w postaci iloczynowej, wykorzystując podane w treści pierwiastki oraz fakt, że przy najwyższej potędze współczynnik wynosi 1. Potem wymnóż i przyrównaj odpowiednie współczynniki. Tadaaam.

davidd · Post autor: **davidd** » 8 lut 2013, o 15:34

Jak ta postać iloczynowa będzie właśnie wyglądać? Cieżko mi z tych danych ją zapisać..

kominkowa · Post autor: **kominkowa** » 8 lut 2013, o 15:42

\(\displaystyle{ W(x)=1(x- x_{1})(x- x_{2})(x-x_{3})}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}-6}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_{1})^{2}(x-x_{1}+6)}\)

davidd · Post autor: **davidd** » 8 lut 2013, o 17:01

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} + (3x _{1} ^{2} - 12x _{1})x + 12x ^{2} - 3x _{1} x ^{2} - x _{1} ^{3}}\)

Prawdę mówiąc nie wiem co dalej zrobić...

octahedron · Post autor: **octahedron** » 8 lut 2013, o 22:57

Przelicz jeszcze raz, bo jest błąd. Potem przyrównaj współczynniki wielomianu odpowiednio do \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Wyjdzie tak jak w miom poście wyżej.