wielomian Fibonacciego

[mol_ksiazkowy]

Sprawdz, fakt: liczba podana jest pierwiastkiem ponizszego równania trzeciego stopnia, rachunki nalezy tu maksym uproscic...czy jest to jedyne rozwiazanie, podaj przyblizenie

\(\displaystyle{ x^3+2x^2+10x-20=0}\)
\(\displaystyle{ a= 1+\frac{22}{60} +\frac{7}{60^2}+ \frac{4}{60^3}+ \\
\frac{33}{60^4} + \frac{4}{60^5}+\frac{4}{60^6}}\)

[przemk20]

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+4x+10 > 0 \ \ \forall x \in R \\}\) zatem funkcja stale rosnaca, czyli jest tylko 1 pierwiastek rzeczywisty, zauwazamy, ze
\(\displaystyle{ f(2)=16>0, \ \ f(1)=-7 < 0, \\
\exists \ x_0 \in(1;2), \ ze \ \ f(x_0)=0 \\
f''(x)=6x+4, \ \ dla \ x \in (1;2) \ f''(x) > 0 \\}\)
Przyblizenie pierwiastka mozna znalezsc stosujac kilka razy metode newtona:
\(\displaystyle{ x_0 b - \frac{f(b)}{f'(b)}, \ \ b=-7}\)

[mol_ksiazkowy]

okey, ale kto sprawdzi ...hmmm..?

[przemk20]

Mozna to tak; wezmy ciag o wzorze rekurencyjnym :
\(\displaystyle{ x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+2x_n^2+10x_n-20}{3x_n^2+4x_n+10} =
\frac{2x_n^3+2x_n^2+20}{3x_n^2+4x_n+10} \\
CZYLI \\
x_1=2 \\
x_{n+1}=\frac{2x_n^3+2x_n^2+20}{3x_n^2+4x_n+10} \\}\)
Teraz trzeba obliczyc \(\displaystyle{ x_7}\)
Moze ktos sie znajdzie, bo mi sie narazie nie chce

[Fanik]

Liczba "a" nie jest pierwiastkiem tego równania.
Liczba a jest liczbą wymierną, natomiast z tw. o pierwiastkach wymiernych mamy, iż jedynymi pierw. wymiernymi tego wielomianu mogą być +20 lub -20.

Od razu widać że liczba a jest dodatnia, natomiast jej wartość nie przekracza 7 (takie przybliżenie).

Więc albo nie rozumiem zadania albo coś innego chciałeś przekazać.

[przemk20]

mi sie wydaje, ze ta liczba "a"ma byc w przyblizeniu pierwiastkiem wielomianu, gdzie pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ a-\frac{1}{60^6}}\)

[Fanik]

no to po co cyrkować.
a jest z przedzialu (1;2) gdyż kolejne składniki są coraz mniejze od siebię (mianownik się zwiększa dużo bardziej niż licznik)
W(1)=1+2+10-20=-7
W(2)=8+2*4+20-20=16
Wielomian jest funkcją ciągłą.
Na mocy własności Darboux mamy że w tym przedziale wielomian ma pierwiastek.

Co tu udowadniać?

[przemk20]

ale nie chodzi o to zeby pokazac, ze pierwiastek lezy pomiedzy (1,2) tylko ze lezy pomiedzy
\(\displaystyle{ (a-\frac{1}{60^6}, a+ \frac{1}{60^6})}\)