rozwiazanie nierownosci

[dzun]

\(\displaystyle{ b) |x^{3} - 4x| > x^{3} - 4x}\)

[Althorion]

Podpowiedź:
Kiedy \(\displaystyle{ |x| > x}\)?

[dzun]

gdy x jest ujemny?

[Althorion]

Zgadza się. Kiedy więc w Twoim przykładzie wyrażenie w wartości bezwzględnej jest ujemne?

[dzun]

wychodzi, ze \(\displaystyle{ x^{3} + 4x < 0}\) ale nie wiem skąd sie bierze, że \(\displaystyle{ < 0}\)

[konrad509]

No jak ma być ujemny, to musi być \(\displaystyle{ <0}\). To chyba logiczne

[dzun]

ale ma być zamiana znaków pod modułem?

[matfizinf3]

\(\displaystyle{ \left| x^{3} -4x \right| > x^{3} -4x}\)

Rozpisujemy na dwa przypadki:

1. Gdy \(\displaystyle{ x^{3} -4x \ge 0}\)

Sprawdzamy dla jakich x tak jest.

\(\displaystyle{ x^{3} -4x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x-2\right) \left( x+2\right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x \in <-2,0> \cup <2,+ \infty )}\)

Skoro nasze wyrażenie jest nieujemne to opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaków

\(\displaystyle{ x^{3} -4x > x^{3} -4x}\)
\(\displaystyle{ 0 > 0}\)

Zatem dochodzimy do sprzeczności. Czyli x z przedziału \(\displaystyle{ <-2,0> \cup <2,+ \infty )}\)nie jest rozwiązaniem.

2. Drugi przypadek gdy \(\displaystyle{ x^{3} -4x < 0}\)

Znów sprawdzamy dla jakich x

\(\displaystyle{ x^{3} -4x < 0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x-2\right) \left( x+2\right) < 0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\) (1.1)

Tym razem opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy znak

\(\displaystyle{ -x^{3} +4x > x^{3} -4x}\)

Przenosimy na jedną stronę

\(\displaystyle{ 2x^{3} -8x <0}\)

Dzielimy przez 2

\(\displaystyle{ x^{3} -4x <0}\)
\(\displaystyle{ x\left( x-2\right) \left( x+2\right) <0}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\) (1.2)

Wynikiem jest iloczyn zbiorów z równania (1.1) i (1.2)

Zatem \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (0,2)}\)