wartosc paraetrow m i n

[dzun]

Witam,
prosze o wytlumaczenie tego zadania:
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 5x^{3} + mx^{2} + 4x + n}\)?

[Ponewor]

Wielomian musi być podzielny przez \(\displaystyle{ \left(x-2 \right)^{3}}\). Wykonaj dzielenie i reszta ma być równa \(\displaystyle{ 0}\).

[dzun]

czyli dwie reszty tylko maja być? czy trzecia też zawiera sie w układzie równan?
mam tak:


\(\displaystyle{ \begin{cases} -16 + 4m + n = 0 \\ -24 + 4m = 0 \end{cases}}\)
z tego mam, że \(\displaystyle{ m = 6 \wedge n = -8}\)
dobrze?

[Ponewor]

Nie rozumiem jak mogą być dwie reszty. Reszta z dzielenia to pewien wielomian. Zgodnie z warunkami zadania ta reszta to wielomian zerowy. Z twierdzenia o równości wielomianów wynika, że współczynniki przy \(\displaystyle{ x}\) we wszystkich potęgach mają być równe zero. Spinasz układ klamrą i wyliczasz wartości. Wyliczone przez Ciebie wartości są nieprawidłowe.

[dzun]

to nie podchodzi pod tabelke Hornera?
jak to wyliczyć?

[Ponewor]

Wykonaj dzielenie pisemne wielomianu \(\displaystyle{ x^{4} - 5x^{3} + mx^{2} + 4x + n}\) przez wielomian \(\displaystyle{ \left(x-2 \right)^{3}}\) - musisz go sobie najpierw rozpisać zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia. Schemat Hornera działa tylko podczas dzielenia przez dwumiany \(\displaystyle{ x-a}\).

[dzun]

Ponewor, sorry ale tu sie mylisz ;]
tabelka Hornera tez podchodzi pod to dzielenie, wystarczy, ze raz podzielisz przez \(\displaystyle{ x - 2}\), potem to co wyjdzie drugi raz przez \(\displaystyle{ x - 2}\) i te dwie reszty co wyjda wystracza do obliczenia wartosci \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Pisze bo chce sie upewnić, ale znalazłem odpowiedz w googlach i jest taka sama jak moja ale nie jestem pewien.

[Ponewor]

Jasne tak można. Ale pracy więcej. I szans na pomyłkę. A gdyby dzielnikiem był nierozkładalny trójmian, to Horner by nie działał.

[Mariusz M]

Za wzoru Viete'a na sumę mamy czwarty pierwiastek
i wystarczy porównać postać iloczynową z postacią ogólną

Ze wzoru Viete na sumę pierwiastków mamy

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 5x^{3} + mx^{2} + 4x + n\\
a+3 \cdot 2=5\\
a=5-6\\
a=-1\\}\)

a zatem czwarty pierwiastek to \(\displaystyle{ x_{4}=-1}\)

Porównaj więc wielomiany

\(\displaystyle{ \left( x+1\right)\left( x-2\right)^3=x^{4} - 5x^{3} + mx^{2} + 4x + n}\)

[Ponewor]

Skoro już mowa o innych rozwiązaniach, to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ W \left( 2 \right)=0 \wedge W^{\prime} \left( 2 \right)=0 \wedge W^{\prime \prime} \left( 2 \right)=0 \\ W \left( x \right) = x^{4} - 5x^{3} + mx^{2} + 4x + n \\ W^{\prime} \left(x\right)=4x^{3}-15x^{2}+2mx+4 \\ W^{\prime \prime} \left(x\right)=12x^{2}-30x+2m \\ \begin{cases} W\left(2 \right)=0 \\ W^{\prime} \left(2 \right)=0 \\ W^{\prime \prime} \left(2 \right)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 16-40+4m+8+n=0 \\ 32-60+4m+4=0 \\ 48-60+2m=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=6 \\ n=-8 \end{cases}}\)