jak obliczyc aymptoty funckji?
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-4}}\)
asymptoty funckji
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
asymptoty funckji
\(\displaystyle{ D_{f}=(-\infty, -2) \cup (-2,2) \cup (2,+\infty)}\)
Asymptoty ukośne wyznaczysz w ten sposób:
oblicz sobie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}}\)
granica musi być stałą liczbą , jeśli jest to będzie to współczynnik a
następnie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} (f(x)-ax)}\)
granica musi być stałą liczbą , jeśli jest to będzie to wyraz wolny b
podstawiasz do równania : y=ax+b i masz równanie asymptoty wykresy funkcji f przy \(\displaystyle{ x\rightarrow +\infty}\)
analogicznie wyznaczysz przy \(\displaystyle{ x\rightarrow -\infty}\)
Następnie wyznaczasz asymptoty pionowe, obliczając granice (musi wyjść plus lub minus nieskończoność, jeśli nie to znaczy ,że dana asymptota nie istnieje) :
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{+}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{+}} f(x)}\)
Asymptoty ukośne wyznaczysz w ten sposób:
oblicz sobie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}}\)
granica musi być stałą liczbą , jeśli jest to będzie to współczynnik a
następnie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} (f(x)-ax)}\)
granica musi być stałą liczbą , jeśli jest to będzie to wyraz wolny b
podstawiasz do równania : y=ax+b i masz równanie asymptoty wykresy funkcji f przy \(\displaystyle{ x\rightarrow +\infty}\)
analogicznie wyznaczysz przy \(\displaystyle{ x\rightarrow -\infty}\)
Następnie wyznaczasz asymptoty pionowe, obliczając granice (musi wyjść plus lub minus nieskończoność, jeśli nie to znaczy ,że dana asymptota nie istnieje) :
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{+}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}} f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{+}} f(x)}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2007, o 14:18 przez Uzo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 9 sty 2007, o 10:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 3 razy
asymptoty funckji
Ustalamy dziedzinę funkcji. Jak widać \(\displaystyle{ Df\in}\) R-{2;-2}
Najpierw sprawdzamy czy funkcja ta posiada asymptotę pionową, a robimy to ze wzoru, w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-4}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{4-6-10}{0^{+}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{-12}{0^{+}}}\) = \(\displaystyle{ -\infty}\)
Co oznacza, że dla tej funkcji istnieje asymptota pionowa lewostronna o równaniu \(\displaystyle{ x=-2}\) przy której funkcja dąży do
\(\displaystyle{ -\infty}\)
Teraz sprawdzamy czy ta asymptota jest asymptotą obustronną, a więc badamy czy dla \(\displaystyle{ x\rightarrow-2^{+}}\) f(x) również będzie dążyć do nieskończoności:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{+}}}\) \(\displaystyle{ \frac{4-6-10}{0^{-}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{-12}{0^{-}}}\) = \(\displaystyle{ +\infty}\)
Widzimy więc że ta prosta jest asymptotą pionową obustronną dla wykresu funkcji f(x)
Zauważamy również, że funkcja posiada jeszcze jeden punkt nieciągłości czyli punkt który nie należy do dziedziny. Sprawdzamy kolejną asymptotę pionową:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{x+5}{x+2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\)
Widzimy, więc że w tym przypadku istnieje granica właściwa lewostronna, badamy więc prawostronną:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{+}}}\) \(\displaystyle{ \frac{(x+5)}{(x+2)}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\)
Dochodzimy więc do wniosku, że dla x=2 nie ma asymptoty dla f(x) istnieje natomiast punkt nieciągłości \(\displaystyle{ P(2,\frac{7}{4})}\)
Najpierw sprawdzamy czy funkcja ta posiada asymptotę pionową, a robimy to ze wzoru, w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+3x-10}{x^{2}-4}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{4-6-10}{0^{+}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{-12}{0^{+}}}\) = \(\displaystyle{ -\infty}\)
Co oznacza, że dla tej funkcji istnieje asymptota pionowa lewostronna o równaniu \(\displaystyle{ x=-2}\) przy której funkcja dąży do
\(\displaystyle{ -\infty}\)
Teraz sprawdzamy czy ta asymptota jest asymptotą obustronną, a więc badamy czy dla \(\displaystyle{ x\rightarrow-2^{+}}\) f(x) również będzie dążyć do nieskończoności:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{+}}}\) \(\displaystyle{ \frac{4-6-10}{0^{-}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{-12}{0^{-}}}\) = \(\displaystyle{ +\infty}\)
Widzimy więc że ta prosta jest asymptotą pionową obustronną dla wykresu funkcji f(x)
Zauważamy również, że funkcja posiada jeszcze jeden punkt nieciągłości czyli punkt który nie należy do dziedziny. Sprawdzamy kolejną asymptotę pionową:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{-}}}\) \(\displaystyle{ \frac{x+5}{x+2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\)
Widzimy, więc że w tym przypadku istnieje granica właściwa lewostronna, badamy więc prawostronną:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(x)}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2^{+}}}\) \(\displaystyle{ \frac{(x+5)}{(x+2)}}\) = \(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\)
Dochodzimy więc do wniosku, że dla x=2 nie ma asymptoty dla f(x) istnieje natomiast punkt nieciągłości \(\displaystyle{ P(2,\frac{7}{4})}\)