\(\displaystyle{ \frac{25}{ x^{3}- x^{2}-8x-12 }}\)
Nie mogę rozłożyć tego wielomianu żadnym sposobem...
Znajdź miejsca zerowe
-
dzun
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 11 cze 2012, o 16:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 98 razy
Znajdź miejsca zerowe
jakie masz polecenie zadania?
przypuszczam, ze jest to wyznaczanie dziedziny, a więc \(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12 \neq 0}\) z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych szukasz pierwiastkow wielomianu i wyznaczasz dziedzine, \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ ...\right\}}\)
przypuszczam, ze jest to wyznaczanie dziedziny, a więc \(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12 \neq 0}\) z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych szukasz pierwiastkow wielomianu i wyznaczasz dziedzine, \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ ...\right\}}\)
-
jbeb
- Użytkownik
- Posty: 276
- Rejestracja: 21 lis 2011, o 10:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 50 razy
Znajdź miejsca zerowe
Ogólnie to mam zadanie: rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{25}{x^{3}- x^{2}-8x-12}}\)
Tylko, że muszę z tym wielomianem najpierw zrobić porządek, a żadnym sposobem mi nie wychodzi... ani twierdzenie Bezouta, ani wyciąganie przed nawias... nie mam pomysłu
Tylko, że muszę z tym wielomianem najpierw zrobić porządek, a żadnym sposobem mi nie wychodzi... ani twierdzenie Bezouta, ani wyciąganie przed nawias... nie mam pomysłu
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Znajdź miejsca zerowe
Wielomian ten da się rozłożyć dopełniając odpowiednie wyrażenia do kwadratu, co często robił Vax lub mariuszm. Niestety nie ma on przyzwoitych pierwiastków, więc sądzę, że po prostu błąd w treści.
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Znajdź miejsca zerowe
Pomyliłem stopnie. Tutaj można co najwyżej zastosować metodę Cardano. Pierwiastki są naprawdę paskudne, więc nie będę ich tutaj pisał. Możesz sama zobaczyć:
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Znajdź miejsca zerowe
Marcinek665, sprawdzałeś chociaż czy lepiej sprowadzić
równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne kąta potrojonego czy lepiej do równania kwadratowego sprowadzić ?
Jeżeli nie znamy liczb zespolonych (bądź nie chcemy ich używać) to tzw casus irreducibilis lepiej jest do wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego sprowadzić
Jeżeli nie jest to tzw casus irreducibilis to lepiej jest równanie sprowadzić do równania kwadratowego
Podstawienie \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
sprowadzi równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\) do równania trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Aby sprowadzić równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
do równania kwadratowego stosujesz jedno z dwóch podstawień
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
(otrzymane równanie grupujesz i przekształcasz w układ równań
przypominający wzory Viete'a trójmianu kwadratowego)
\(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
(tutaj aby otrzymać równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\) wystarczy tylko pomnożyć otrzymane równanie przez \(\displaystyle{ u^3}\) ale trzeba uważać na zerowe pierwiastki tego równania )
Jeżeli otrzymane równanie kwadratowe ma ujemny wyróżnik to wtedy
albo liczymy pierwiastki , korzystamy ze wzoru de Moivre itd
albo jeśli nie znamy liczb zespolonych to wracamy do równania trzeciego stopnia postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) i sprowadzamy je do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne
kąta potrojonego
Podstawienie sprowadzające do wzoru na cosinus kąta potrojonego wygląda tak
\(\displaystyle{ y=2\sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{t}}\)
Nie wygladaja one tak źle jak je malujesz
\(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12\\
x=y+\frac{1}{3}\\
y^{3}+y^{2}+\frac{y}{3}+\frac{1}{27}-y^{3}-\frac{2}{3}y-\frac{1}{9}-8y-\frac{8}{3}-12\\
y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\}\)
Sprowadzamy powyższe równanie do równania kwadratowego
\(\displaystyle{ y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-\frac{25}{3}\left( u+v\right)- \frac{398}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3- \frac{25}{3}\left( u+v\right)- \frac{398}{27}=0\\
u^3+v^3- \frac{398}{27} +3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{25}{9} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3- \frac{398}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{25}{9} \right) \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ uv= \frac{25}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ u^3v^3= \frac{15625}{729} \end{cases} \\}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2-\frac{398}{27}t+\frac{15625}{729}=0\\
\left( t-\frac{199}{27}\right)^2-\frac{23976}{729}\\
\left( t-\frac{199-18\sqrt{74}}{27}\right)\left(t-\frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0\\
\left( t-\frac{199-18\sqrt{74}}{27}\right)\left(t-\frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0\\
u^3=\frac{1}{27}\left( 199-18\sqrt{74}\right)\\
v^3=\frac{1}{27}\left( 199-18\sqrt{74}\right)\\
x_{1}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199-18\sqrt{74}}+\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}+\frac{1}{3}\\}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia dobieramy tak aby układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ uv= \frac{25}{9} \end{cases}}\)
był spełniony
Jak się przyjrzysz temu układowi równań to stwierdzisz że jeśli
\(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\) spełniają powyższy układ równań
to spełniają go także pary \(\displaystyle{ u_{1}=\varepsilon_{1}u_{0}\\v_{1}=\varepsilon_{2}v_{0}}\)
oraz \(\displaystyle{ u_{2}=\varepsilon_{2}u_{0}\\v_{2}=\varepsilon_{1}v_{0}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_{2}}\) spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2} =1\end{cases}}\)
Jak się dobrze przyjrzysz to zauważysz że ten układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
\(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\)
Teraz sprawdźmy co otrzymamy używając tego drugiego podstawienia
\(\displaystyle{ y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\
y=u+\frac{25}{9u}\\
\left( u+\frac{25}{9u}\right)^3-\frac{25}{3}\left( u+\frac{25}{9u}\right)-\frac{398}{27}=0\\
u^3+\frac{25}{3}u+\frac{625}{27u}+\frac{15625}{729u^3}-\frac{25}{3}u-\frac{625}{27u}-\frac{398}{27}=0\\
u^3-\frac{398}{27}+\frac{15625}{729u^3}=0\\
u^6-\frac{398}{27}u^3+\frac{15625}{729}=0\\
\left( u^3- \frac{199}{27} \right)^2-\frac{23976}{729}=0 \\
\left( u^3- \frac{199-18\sqrt{74}}{27} \right)\left( u^3- \frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0 \\}\)
Wybieramy niezerowy pierwiastek powyższego równania
\(\displaystyle{ u=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}\\
x_{1}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}+\frac{25}{3\sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}}+\frac{1}{3}\\}\)
Jeżeli chcemy mieć wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12}\)
to bierzemy wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia wybranego niezerowego pierwiastka równania
\(\displaystyle{ t^2-\frac{398}{27}t+\frac{15625}{729}=0\\}\)
Jak wpadnie Vax albo Psiaczek to pewnie ci dokładniej , przystępniej opiszą sposób rozwiązywania
równań trzeciego stopnia
równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne kąta potrojonego czy lepiej do równania kwadratowego sprowadzić ?
Jeżeli nie znamy liczb zespolonych (bądź nie chcemy ich używać) to tzw casus irreducibilis lepiej jest do wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego sprowadzić
Jeżeli nie jest to tzw casus irreducibilis to lepiej jest równanie sprowadzić do równania kwadratowego
Podstawienie \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
sprowadzi równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\) do równania trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Aby sprowadzić równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
do równania kwadratowego stosujesz jedno z dwóch podstawień
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
(otrzymane równanie grupujesz i przekształcasz w układ równań
przypominający wzory Viete'a trójmianu kwadratowego)
\(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
(tutaj aby otrzymać równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\) wystarczy tylko pomnożyć otrzymane równanie przez \(\displaystyle{ u^3}\) ale trzeba uważać na zerowe pierwiastki tego równania )
Jeżeli otrzymane równanie kwadratowe ma ujemny wyróżnik to wtedy
albo liczymy pierwiastki , korzystamy ze wzoru de Moivre itd
albo jeśli nie znamy liczb zespolonych to wracamy do równania trzeciego stopnia postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) i sprowadzamy je do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne
kąta potrojonego
Podstawienie sprowadzające do wzoru na cosinus kąta potrojonego wygląda tak
\(\displaystyle{ y=2\sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{t}}\)
Nie wygladaja one tak źle jak je malujesz
\(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12\\
x=y+\frac{1}{3}\\
y^{3}+y^{2}+\frac{y}{3}+\frac{1}{27}-y^{3}-\frac{2}{3}y-\frac{1}{9}-8y-\frac{8}{3}-12\\
y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\}\)
Sprowadzamy powyższe równanie do równania kwadratowego
\(\displaystyle{ y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-\frac{25}{3}\left( u+v\right)- \frac{398}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3- \frac{25}{3}\left( u+v\right)- \frac{398}{27}=0\\
u^3+v^3- \frac{398}{27} +3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{25}{9} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3- \frac{398}{27}=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{25}{9} \right) \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ uv= \frac{25}{9} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ u^3v^3= \frac{15625}{729} \end{cases} \\}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2-\frac{398}{27}t+\frac{15625}{729}=0\\
\left( t-\frac{199}{27}\right)^2-\frac{23976}{729}\\
\left( t-\frac{199-18\sqrt{74}}{27}\right)\left(t-\frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0\\
\left( t-\frac{199-18\sqrt{74}}{27}\right)\left(t-\frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0\\
u^3=\frac{1}{27}\left( 199-18\sqrt{74}\right)\\
v^3=\frac{1}{27}\left( 199-18\sqrt{74}\right)\\
x_{1}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199-18\sqrt{74}}+\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}+\frac{1}{3}\\}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia dobieramy tak aby układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=\frac{398}{27} \\ uv= \frac{25}{9} \end{cases}}\)
był spełniony
Jak się przyjrzysz temu układowi równań to stwierdzisz że jeśli
\(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\) spełniają powyższy układ równań
to spełniają go także pary \(\displaystyle{ u_{1}=\varepsilon_{1}u_{0}\\v_{1}=\varepsilon_{2}v_{0}}\)
oraz \(\displaystyle{ u_{2}=\varepsilon_{2}u_{0}\\v_{2}=\varepsilon_{1}v_{0}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_{2}}\) spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2} =1\end{cases}}\)
Jak się dobrze przyjrzysz to zauważysz że ten układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
\(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\)
Teraz sprawdźmy co otrzymamy używając tego drugiego podstawienia
\(\displaystyle{ y^{3}-\frac{25}{3}y-\frac{398}{27}=0\\
y=u+\frac{25}{9u}\\
\left( u+\frac{25}{9u}\right)^3-\frac{25}{3}\left( u+\frac{25}{9u}\right)-\frac{398}{27}=0\\
u^3+\frac{25}{3}u+\frac{625}{27u}+\frac{15625}{729u^3}-\frac{25}{3}u-\frac{625}{27u}-\frac{398}{27}=0\\
u^3-\frac{398}{27}+\frac{15625}{729u^3}=0\\
u^6-\frac{398}{27}u^3+\frac{15625}{729}=0\\
\left( u^3- \frac{199}{27} \right)^2-\frac{23976}{729}=0 \\
\left( u^3- \frac{199-18\sqrt{74}}{27} \right)\left( u^3- \frac{199+18\sqrt{74}}{27} \right)=0 \\}\)
Wybieramy niezerowy pierwiastek powyższego równania
\(\displaystyle{ u=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}\\
x_{1}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}+\frac{25}{3\sqrt[3]{199+18\sqrt{74}}}+\frac{1}{3}\\}\)
Jeżeli chcemy mieć wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}-8x-12}\)
to bierzemy wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia wybranego niezerowego pierwiastka równania
\(\displaystyle{ t^2-\frac{398}{27}t+\frac{15625}{729}=0\\}\)
Jak wpadnie Vax albo Psiaczek to pewnie ci dokładniej , przystępniej opiszą sposób rozwiązywania
równań trzeciego stopnia