Rozłóż na czynniki wielomian W(x)

[grzesiekpok]

Hej, mam takie zadanie:
Rozłóż na czynniki wielomian W(x) wiedząc, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x)
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +4x ^{2} +x -6, p=1}\)

Nie mam pojęcia, jak wykonuje się takie zadania. Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

[yorgin]

Dokonujesz dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ V(x)=x-p}\).

Zostanie Ci trójmian, który rozkładasz z delty.

[grzesiekpok]

a więc wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ x ^{3} +4x ^{2} +x -6 :x +1 =x ^{2} +3x -2}\) i \(\displaystyle{ 4 reszty}\)

co z tym teraz zrobić?

[yorgin]

Nie może Ci wyjść reszta, skoro \(\displaystyle{ p}\) jest pierwiastkiem. Dodatkowo, dzielisz przez zły dwumian. Powinno być

\(\displaystyle{ x^3+4x^2+x-6:x-1=\ldots}\)

[grzesiekpok]

Mój błąd. Wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ x ^{3} +4x ^{2} +x -6 :x -1 = x ^{2} +5x +6}\)

Co z tym teraz zrobić? Nie bardzo rozumiem co mam wyliczyć z delty? x1 i x2?

[dzun]

liczysz miejsca zerowe (czyli \(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\)) z Twojego równania jest to \(\displaystyle{ W(x) = (x + 3)(x + 2)}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ W(x) = (x + 3)(x + 2)}\)

Winno być

\(\displaystyle{ x^2+5x+6=(x+3)(x+2)\\
\\
W(x)=(x+3)(x+2)(x-1)}\)

[grzesiekpok]

Czyli końcowy wynik, to:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x _{1})(x-x _{2})(x-p)}\)

Dobrze to rozumiem?

[yorgin]

Dobrze to rozumiesz. W postaci iloczynowej zawsze odejmuje się pierwiastki w każdym z nawiasów.

[grzesiekpok]

A co w sytuacji gdy mam coś takiego?
\(\displaystyle{ 4x ^{3} +4x ^{2} +3x -3 :x -0,5 =4x ^{2} +6x +6}\)

\(\displaystyle{ Delta < 0}\)

wynik, to:
\(\displaystyle{ W(x)=(2x-1)(2x ^{2} +3x +3)}\)

Czyli że robię to tak, że
\(\displaystyle{ x-p}\)
mnożę przez 2 żeby zlikwidować ułamki, a
\(\displaystyle{ 4x ^{2} +6x +6}\)
skracam tak, jak jest to możliwe, więc dzielę przez 2 co daje mi
\(\displaystyle{ 2x ^{2} +3x +3}\)
Tak więc końcowym wynikiem gdy delta mniejsza jest od zera jest
\(\displaystyle{ W(x)=(x-p)(bez ulamkow))(skrocony wynik dzielenia)}\)
Czy źle to rozszyfrowałem?

[yorgin]

Przy operacji "likwidacji" ułamków oraz "skracania, jak to tylko możliwe", mnożysz i dzielisz przez taką samą liczbę, inaczej wynik może wyjść niepoprawny.

Natomiast jeśli przy liczeniu delty wychodzi liczba ujemna, to nie rozkładasz już dalej trójmianu, czyli ostateczny wynik to właśnie

\(\displaystyle{ W(x)=(2x-1)(2x ^{2} +3x +3)}\)