Witam. Moja kobieta ma problem z matematyki finansowej.
Otóż: próbujemy rozwiązać wielomian w prosty sposób, wolfram nam nabruździł bardzo. Prosimy o pomoc
\(\displaystyle{ 2000x^{4}-1000x^{3}-900x^{2}-700x-283,2=0}\)
Proszę w jej imieniu o proste wytłumaczenie.
Z góry dziękuję i pozdrawiam !
Wielomian 4 stopnia
-
Edward D
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 6 lis 2012, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Domaradz
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 16 razy
Wielomian 4 stopnia
... 283.2+%3D0
Mi nie nabruździł. Jedyny pierwiastek rzeczywisty dodatni (bo pewnie tylko takie was obchodza) to \(\displaystyle{ x=1,2}\). Jesli chodzi o to skad to sie wzielo, to sa ogolne (strasznie skomplikowane) wzory na znajdowanie pierwiastkow wielomianu 4 stopnia. Albo mozna po prostu stosowac jakies metody numeryczne.
Mi nie nabruździł. Jedyny pierwiastek rzeczywisty dodatni (bo pewnie tylko takie was obchodza) to \(\displaystyle{ x=1,2}\). Jesli chodzi o to skad to sie wzielo, to sa ogolne (strasznie skomplikowane) wzory na znajdowanie pierwiastkow wielomianu 4 stopnia. Albo mozna po prostu stosowac jakies metody numeryczne.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian 4 stopnia
Możesz wymnożyć dwa trójmiany i porównać współczynniki
\(\displaystyle{ \left(x^2+px+q\right)\left(x^2+rx+s\right)=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+\left(p+r\right)x^3+\left(q+s+pr\right)x^2+\left(ps+qr\right)x+qs=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
\begin{cases}p+r=a_{3}\\q+s+pr=a_{2}\\ps+qr=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\q+s=a_{2}-p\left(a_{3}-p\right)\\q\left(a_{3}-p\right)+ps=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\\begin{bmatrix}q\\s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\a_{3}-p&p\end{bmatrix}^{-1}\cdot\begin{bmatrix}a_{2}-p\left(a_{3}-p\right)\\a_{1}\end{bmatrix}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\q=\frac{1}{2p-a_{3}}\cdot \left(-a_{1}+a_{2}p-a_{3}p^2+p^3\right)\\s=\frac{1}{2p-a_{3}}\cdot\left(a_{1}-a_{3}a_{2}+\left(a_{3}^2+a_{2}\right)p-2a_{3}p^2+p^3\right)\\qs=a_{0} \end{cases}\\
\left(p^3-a_{3}p^2+a_{2}p-a_{1}\right)\cdot\left(p^3-2a_{3}p^2+\left(a_{3}^2+a_{2}\right)p+a_{1}-a_{3}a_{2}\right)-a_{0}\left(2p-a_{3}\right)^2=0\\
p^6-3a_{3}p^5+\left(2a_{2}+3a_{3}^2\right)p^4-\left(a_{3}^3+4a_{3}a_{2}\right)p^3+\left(a_{3}a_{1}-4a_{0}+a_{2}^2+2a_{3}^2a_{2}\right)p^2-\left(a_{2}^2a_{3}+a_{1}a_{3}^2-4a_{3}a_{0}\right)p+a_{3}a_{2}a_{1}-a_{1}^2-a_{0}a_{3}^2=0\\
p=\frac{a_{3}}{2}+u\\
u^6+\left(2a_{2}-\frac{3}{4}a_{3}^2\right)u^4+\left(a_{2}^2+a_{3}a_{1}+\frac{3}{16}a_{3}^4-a_{3}^2a_{2}-4a_{0}\right)u^2+a_{3}a_{2}a_{1}+\frac{1}{8}a_{3}^4a_{2}-a_{1}^2-\frac{1}{64}a_{3}^6-\frac{1}{4}a_{3}^3a_{1}-\frac{1}{4}a_{3}^2a_{2}^2=0\\
\left(u_{1}=u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}=u_{6}=0\right) \Leftrightarrow \left(x+\frac{a_{3}}{4}\right)^4}\)
Możesz też sprowadzić wielomian do postaci różnicy kwadratów
\(\displaystyle{ \ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}+\frac{a_{2}}{a_{4}}x^{2}+\frac{a_{1}}{a_{4}}x+\frac{a_{0}}{a_{4}}=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}-\left(-\frac{a_{2}}{a_{4}}x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}+\frac{a_{3}^{2}}{4a_{4}^2}x^{2}-\left(\left(\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x\right)^{2}-\left(\left(\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}\right)^{2}-\left(\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)x+\left(\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)\right)=0\\
\Delta=0\\
4\left(\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)-\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)^2=0\\
y^{3}+\frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}y^{2}-\frac{a_{2}}{a_{4}}y^{2}-\frac{4a_{0}}{a_{4}}y-\frac{a_{0}\left(a_{3}^2-4a_{4}a_{2}\right)+a_{1}^2a_{4}}{a_{4}^3}-\frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}y^2+\frac{a_{3}a_{1}}{a_{4}^2}y-\frac{a_{1}^2}{a_{4}^2}=0\\
y^{3}-\frac{a_{2}}{a_{4}}y^2+\left(\frac{a_{3}a_{1}-4a_{4}a_{0}}{a_{4}^2}\right)y-\left(\frac{a_{0}\left(a_{3}^2-4a_{4}a_{2}\right)+a_{1}^2a_{4}}{a_{4}^3}\right)=0\\
p=y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\\
q=\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\\
r=\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}\right)^{2}-p\left(x+\frac{q}{2p}\right)^2=0\\
\begin{cases}a_{4}\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}+\sqrt{p}\right)x+\frac{y}{2}+\frac{q}{2\sqrt{p}}\right)\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}-\sqrt{p}\right)x+\frac{y}{2}-\frac{q}{2\sqrt{p}}\right)=0 \qquad p\neq 0 \ \\a_{4}\left(x^2+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}+\sqrt{r}\right)\left(x^2+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}-\sqrt{r}\right)=0 \qquad p=0 \end{cases}}\)
Podczas rozkładania wielomianu na czynniki kwadratowe dostajemy równanie trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia można sprowadzić do równania kwadratowego
albo do wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Mamy równanie postaci
\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
sprowadzi nam równanie do postaci w której suma pierwiastków jest równa zero
a dodatkowo dzieląc równanie przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
otrzymujemy równanie postaci
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Poniższe dwa podstawienia sprowadzają równanie tej postaci do równania kwadratowego
(wystarczy wybrać jedno podstawienie)
\(\displaystyle{ y=u+v\\
y=u-\frac{p}{3u}}\)
Jeżeli chcesz powyższe równanie sprowadzić do wzoru na funkcje trygonometryczne kąta potrojonego
to stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3} }\cos{t}}\)
Sprowadzenie równania czwartego stopnia do równania trzeciego stopnia
wymnażamy dwa trójmiany kwadratowe i porównujemy współczynniki
Podczas rozwiązywania tak otrzymanego układu dostajemy równanie szóstego stopnia
które to sprowadzamy do równania trzeciego stopnia odpowiednim podstawieniem (podstawieniami)
Wielomian czwartego stopnia można rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyróżnika trójmianu kwadratowego
Metoda podobna do tej znanej pod nazwą uzupełnianie do kwadratu (właściwie jest to to samo)
Z przyrównania wyróżnika trójmianu kwadratowego do zera dostajesz równanie trzeciego stopnia
które musisz rozwiązać (dlatego wspomniałem też o sposobach na równanie trzeciego stopnia)
Są jeszcze metody które nie korzystają z rozkładu wielomianu czwartego stopnia
na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych tylko z tego że pierwiastki wielomianu czwartego stopnia
można wyrazić w postaci sumy trzech z sześciu pierwiastków równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \left(x^2+px+q\right)\left(x^2+rx+s\right)=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+\left(p+r\right)x^3+\left(q+s+pr\right)x^2+\left(ps+qr\right)x+qs=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
\begin{cases}p+r=a_{3}\\q+s+pr=a_{2}\\ps+qr=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\q+s=a_{2}-p\left(a_{3}-p\right)\\q\left(a_{3}-p\right)+ps=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\\begin{bmatrix}q\\s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\a_{3}-p&p\end{bmatrix}^{-1}\cdot\begin{bmatrix}a_{2}-p\left(a_{3}-p\right)\\a_{1}\end{bmatrix}\\qs=a_{0}\end{cases}\\
\begin{cases}r=a_{3}-p\\q=\frac{1}{2p-a_{3}}\cdot \left(-a_{1}+a_{2}p-a_{3}p^2+p^3\right)\\s=\frac{1}{2p-a_{3}}\cdot\left(a_{1}-a_{3}a_{2}+\left(a_{3}^2+a_{2}\right)p-2a_{3}p^2+p^3\right)\\qs=a_{0} \end{cases}\\
\left(p^3-a_{3}p^2+a_{2}p-a_{1}\right)\cdot\left(p^3-2a_{3}p^2+\left(a_{3}^2+a_{2}\right)p+a_{1}-a_{3}a_{2}\right)-a_{0}\left(2p-a_{3}\right)^2=0\\
p^6-3a_{3}p^5+\left(2a_{2}+3a_{3}^2\right)p^4-\left(a_{3}^3+4a_{3}a_{2}\right)p^3+\left(a_{3}a_{1}-4a_{0}+a_{2}^2+2a_{3}^2a_{2}\right)p^2-\left(a_{2}^2a_{3}+a_{1}a_{3}^2-4a_{3}a_{0}\right)p+a_{3}a_{2}a_{1}-a_{1}^2-a_{0}a_{3}^2=0\\
p=\frac{a_{3}}{2}+u\\
u^6+\left(2a_{2}-\frac{3}{4}a_{3}^2\right)u^4+\left(a_{2}^2+a_{3}a_{1}+\frac{3}{16}a_{3}^4-a_{3}^2a_{2}-4a_{0}\right)u^2+a_{3}a_{2}a_{1}+\frac{1}{8}a_{3}^4a_{2}-a_{1}^2-\frac{1}{64}a_{3}^6-\frac{1}{4}a_{3}^3a_{1}-\frac{1}{4}a_{3}^2a_{2}^2=0\\
\left(u_{1}=u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}=u_{6}=0\right) \Leftrightarrow \left(x+\frac{a_{3}}{4}\right)^4}\)
Możesz też sprowadzić wielomian do postaci różnicy kwadratów
\(\displaystyle{ \ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}+\frac{a_{2}}{a_{4}}x^{2}+\frac{a_{1}}{a_{4}}x+\frac{a_{0}}{a_{4}}=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}-\left(-\frac{a_{2}}{a_{4}}x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
x^{4}+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^{3}+\frac{a_{3}^{2}}{4a_{4}^2}x^{2}-\left(\left(\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x\right)^{2}-\left(\left(\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}-\frac{a_{1}}{a_{4}}x-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)=0\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}\right)^{2}-\left(\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)x^{2}+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)x+\left(\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)\right)=0\\
\Delta=0\\
4\left(\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\right)\left(y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\right)-\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)^2=0\\
y^{3}+\frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}y^{2}-\frac{a_{2}}{a_{4}}y^{2}-\frac{4a_{0}}{a_{4}}y-\frac{a_{0}\left(a_{3}^2-4a_{4}a_{2}\right)+a_{1}^2a_{4}}{a_{4}^3}-\frac{a_{3}^2}{4a_{4}^2}y^2+\frac{a_{3}a_{1}}{a_{4}^2}y-\frac{a_{1}^2}{a_{4}^2}=0\\
y^{3}-\frac{a_{2}}{a_{4}}y^2+\left(\frac{a_{3}a_{1}-4a_{4}a_{0}}{a_{4}^2}\right)y-\left(\frac{a_{0}\left(a_{3}^2-4a_{4}a_{2}\right)+a_{1}^2a_{4}}{a_{4}^3}\right)=0\\
p=y+\frac{a_{3}^2-4a_{4}a_{2}}{4a_{4}^2}\\
q=\frac{a_{3}}{2a_{4}}y-\frac{a_{1}}{a_{4}}\\
r=\frac{y^2}{4}-\frac{a_{0}}{a_{4}}\\
\left(x^{2}+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}\right)^{2}-p\left(x+\frac{q}{2p}\right)^2=0\\
\begin{cases}a_{4}\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}+\sqrt{p}\right)x+\frac{y}{2}+\frac{q}{2\sqrt{p}}\right)\left(x^2+\left(\frac{a_{3}}{2a_{4}}-\sqrt{p}\right)x+\frac{y}{2}-\frac{q}{2\sqrt{p}}\right)=0 \qquad p\neq 0 \ \\a_{4}\left(x^2+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}+\sqrt{r}\right)\left(x^2+\frac{a_{3}}{2a_{4}}x+\frac{y}{2}-\sqrt{r}\right)=0 \qquad p=0 \end{cases}}\)
Podczas rozkładania wielomianu na czynniki kwadratowe dostajemy równanie trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia można sprowadzić do równania kwadratowego
albo do wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Mamy równanie postaci
\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
sprowadzi nam równanie do postaci w której suma pierwiastków jest równa zero
a dodatkowo dzieląc równanie przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
otrzymujemy równanie postaci
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
Poniższe dwa podstawienia sprowadzają równanie tej postaci do równania kwadratowego
(wystarczy wybrać jedno podstawienie)
\(\displaystyle{ y=u+v\\
y=u-\frac{p}{3u}}\)
Jeżeli chcesz powyższe równanie sprowadzić do wzoru na funkcje trygonometryczne kąta potrojonego
to stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3} }\cos{t}}\)
Sprowadzenie równania czwartego stopnia do równania trzeciego stopnia
wymnażamy dwa trójmiany kwadratowe i porównujemy współczynniki
Podczas rozwiązywania tak otrzymanego układu dostajemy równanie szóstego stopnia
które to sprowadzamy do równania trzeciego stopnia odpowiednim podstawieniem (podstawieniami)
Wielomian czwartego stopnia można rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyróżnika trójmianu kwadratowego
Metoda podobna do tej znanej pod nazwą uzupełnianie do kwadratu (właściwie jest to to samo)
Z przyrównania wyróżnika trójmianu kwadratowego do zera dostajesz równanie trzeciego stopnia
które musisz rozwiązać (dlatego wspomniałem też o sposobach na równanie trzeciego stopnia)
Są jeszcze metody które nie korzystają z rozkładu wielomianu czwartego stopnia
na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych tylko z tego że pierwiastki wielomianu czwartego stopnia
można wyrazić w postaci sumy trzech z sześciu pierwiastków równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Ostatnio zmieniony 29 sty 2013, o 01:04 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Wielomian 4 stopnia
Z metod brutalnych, niezbyt mądrych, ale elementarnych i mimo wszystko wykonalnych: mnożymy stronami razy pięć i kombinujemy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian 4 stopnia
Najbardziej intuicyjnym sposobem na znajdowanie pierwiastków wielomianu czwartego stopnia ,
polecanym przez takich użytkowników jak Tomasz Różycki
https://www.matematyka.pl/profiles/903.htm w temacie
https://www.matematyka.pl/5143.htm
(tutaj Rogal nie ma racji zawsze da się rozłożyć wielomian czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych Ferrari najprawdopodobniej rozłożył wielomian czwartego stopnia na
iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych metodą uzupełniania do kwadratu Gdyby było tak jak
Rogal powtarza za gładkim to Cardano z Ferrarim nie musieliby żebrać u Niccolo Fontany vel Tartaglia
sposobu na równanie trzeciego stopnia )
oraz Fingona i Mikiego
http://www.matematyka.pl/profiles/46235.htm
http://www.matematyka.pl/profiles/20675.htm
w temacie http://www.matematyka.pl/206721.htm
jest wymnożenie dwóch trójmianów i porównanie współczynników
\(\displaystyle{ 2000x^{4}-1000x^{3}-900x^{2}-700x-283,2=0\\
x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
\begin{cases} p+r=-\frac{1}{2} \\ q+s+pr=-\frac{9}{20}\\rq+ps=-\frac{7}{20}\\qs=-\frac{177}{1250} \end{cases}\\}\)
Gdybyśmy na początku podstawili \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
to dostalibyśmy prostszy układ równań ale i z tym można sobie poradzić
Z pierwszego równania wyznaczamy r i wstawiamy do pozostałych równań
Następnie dwa równania możemy potraktować jako układ równań liniowych z parametrem p
i wyznaczyć z nich q oraz s . Wyznaczone q oraz s wstawiamy do ostatniego równania
i dostajemy równanie szóstego stopnia sprowadzalne do równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ q+s=-\frac{9}{20}-p\left(-\frac{1}{2}-p \right) \\\left( -\frac{1}{2}-p\right) q+ps=-\frac{7}{20}\\qs=-\frac{177}{1250} \end{cases}\\
\begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ \begin{bmatrix}q\\s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\-\frac{1}{2}-p&p\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -\frac{9}{20}-p\left(-\frac{1}{2}-p \right)\\ -\frac{7}{20}\end{bmatrix}\\qs+\frac{177}{1250}=0\end{cases}\\
\begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ q=\frac{1}{10}\cdot \frac{20p^3+10p^2-9p+7}{4p+1}\\ s=\frac{1}{20}\cdot\frac{40p^3+40p^2-9p+7}{4p+1}\\
p^6+\frac{3}{2}p^5-\frac{3}{20}p^4-\frac{31}{40}p^3+\frac{7189}{10000}p^2+\frac{9439}{20000}p-\frac{3317}{20000}=0\\
\end{cases}}\)
Teraz trzeba rozwiązać te równanie szóstego stopnia
Po podstawieniu \(\displaystyle{ p=-\frac{1}{4}+y}\)
dostaniemy równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
\(\displaystyle{ p^6+\frac{3}{2}p^5-\frac{3}{20}p^4-\frac{31}{40}p^3+\frac{7189}{10000}p^2+\frac{9439}{20000}p-\frac{3317}{20000}=0\\
p=-\frac{1}{4}+y\\
y^6-\frac{87}{80}y^4+\frac{170899}{160000}y^2-\frac{23409}{102400}=0}\)
Rozwiązujemy powyższe równanie korzystając z podstawień podanych przy okazji rozwiązywania równania trzeciego stopnia
Wybieramy taki pierwiastek aby po powrocie do poprzedniej zmiennej
nie zerowały nam się mianowniki przy obliczaniu q oraz s
Można też sprowadzić wielomian czwartego stopnia najpierw do postaci różnicy kwadratów
Metodę tę można nazwać uzupełnianiem do kwadratu (Sierpiński nazywa ją metodą Ferrariego)
Pogrupujmy wielomian tak aby w pierwszym nawiasie były wyrazy z
\(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\) a w drugim trójmian kwadratowy
(między nawiasami stawiamy oczywiście znak minus)
\(\displaystyle{ 2000x^{4}-1000x^{3}-900x^{2}-700x-283,2=0
10000x^4-5000x^3-4500x^2-3500x-1416=0\\
\left(10000x^4-5000x^3 \right)-\left(4500x^2+3500x+1416 \right)\\}\)
Teraz uzupełniamy wielomian w pierwszym nawiasie do kwadratu
(dodajemy do obu nawiasów odpowiedni wyraz zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia )
\(\displaystyle{ \left(10000x^4-5000x^3 \right)-\left(4500x^2+3500x+1416 \right)=0\\
\left(10000x^4-5000x^3 +625x^2\right)-\left(\left(625+4500\right)x^2+3500x+1416 \right)=0\\
\left( 100x^2-25x\right)^2-\left( 5125x^2+3500x+1416\right)=0\\}\)
Teraz gdy wielomian z lewego nawiasu jest pełnym kwadratem chcemy aby
wielomian z prawego nawiasu też był pełnym kwadratem
Zauważmy że wielomian z prawego nawiasu jest trójmianem kwadratowym i będzie
pełnym kwadratem gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Gdybyśmy liczyli wyróżnik trójmianu od razu to mielibyśmy małe szanse że wyróżnik
będzie równy zero
Musimy więc wprowadzić nową zmienną tak aby wielomian z lewego nawiasu
nadal był pełnym kwadratem (znowu dodajemy do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia )
Po wprowadzeniu nowej zmiennej wyróżnik trójmianu kwadratowego z prawego nawiasu
uzależni się od wprowadzonej zmiennej i po przyrównaniu go do zera
dostaniemy równanie trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \left( 100x^2-25x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left(100y+5125\right)x^2+\left(-25y+3500\right)x+\frac{y^2}{4}+1416\right)=0\\
\Delta=0\\
4\left( \frac{y^2}{4}+1416 \right) \left(100y+5125\right)-\left(-25y+3500\right)^2=0\\
y^3+45y^2+7414y+167780=0\\}\)
Rozwiązujemy powyższe równanie korzystając z podstawień podanych przy okazji rozwiązywania równania trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia w postaci \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
sprowadzamy do postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
podstawiając \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\) oraz dzieląc przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
Podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\)
albo \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
sprowadzą równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
do równania kwadratowego
Podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{t}}\)
sprowadzi równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) do wzoru
na cosinus kąta potrojonego
Sposób z uzupełnianiem do kwadratu dość przystępnie opisuje Vax na swoim przykładzie
http://www.matematyka.pl/227371.htm
Jak chcesz to mogę ci przedstawić parę metod które nie wykorzystują rozkładu na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych tylko opierają się na tym że pierwiastki wielomianu czwartego stopnia można wyrazić za pomocą sumy trzech z sześciu pierwiastków równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Mam do ciebie pytanie
Ile wiesz o wielomianach symetrycznych
(Wielomiany symetryczne to takie które nie zmieniają swej wartości przy dowolnej permutacji zmiennych , Wzory Viete'a wiążą wielomiany symetryczne podstawowe pierwiastków wielomianu
ze współczynnikami wielomianu )
Równania wielomianowe czwartego stopnia pojawiały się już na forum
wystarczy wziąć wpis użytkownika Psiaczek (http://www.matematyka.pl/profiles/74693.htm) z tematu http://www.matematyka.pl/275801.htm#p4834554
Metoda zaproponowana przez poprzednika wiele ci nie da bo z tego co Wolfram pokazuje
to jest tylko jeden pierwiastek wymierny czyli dostałbyś do rozwiązania równanie trzeciego stopnia
Sprawdzając na ślepo te pierwiastki też sporo czasu byś stracił
Jeżeli będziesz miał jakieś pytania to pisz
Ja ,Vax albo Psiaczek pomożemy
polecanym przez takich użytkowników jak Tomasz Różycki
https://www.matematyka.pl/profiles/903.htm w temacie
https://www.matematyka.pl/5143.htm
(tutaj Rogal nie ma racji zawsze da się rozłożyć wielomian czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych Ferrari najprawdopodobniej rozłożył wielomian czwartego stopnia na
iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych metodą uzupełniania do kwadratu Gdyby było tak jak
Rogal powtarza za gładkim to Cardano z Ferrarim nie musieliby żebrać u Niccolo Fontany vel Tartaglia
sposobu na równanie trzeciego stopnia )
oraz Fingona i Mikiego
http://www.matematyka.pl/profiles/46235.htm
http://www.matematyka.pl/profiles/20675.htm
w temacie http://www.matematyka.pl/206721.htm
jest wymnożenie dwóch trójmianów i porównanie współczynników
\(\displaystyle{ 2000x^{4}-1000x^{3}-900x^{2}-700x-283,2=0\\
x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( rq+ps\right)x+qs=x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{20}x^2-\frac{7}{20}x-\frac{177}{1250}\\
\begin{cases} p+r=-\frac{1}{2} \\ q+s+pr=-\frac{9}{20}\\rq+ps=-\frac{7}{20}\\qs=-\frac{177}{1250} \end{cases}\\}\)
Gdybyśmy na początku podstawili \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
to dostalibyśmy prostszy układ równań ale i z tym można sobie poradzić
Z pierwszego równania wyznaczamy r i wstawiamy do pozostałych równań
Następnie dwa równania możemy potraktować jako układ równań liniowych z parametrem p
i wyznaczyć z nich q oraz s . Wyznaczone q oraz s wstawiamy do ostatniego równania
i dostajemy równanie szóstego stopnia sprowadzalne do równania trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ q+s=-\frac{9}{20}-p\left(-\frac{1}{2}-p \right) \\\left( -\frac{1}{2}-p\right) q+ps=-\frac{7}{20}\\qs=-\frac{177}{1250} \end{cases}\\
\begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ \begin{bmatrix}q\\s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\-\frac{1}{2}-p&p\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} -\frac{9}{20}-p\left(-\frac{1}{2}-p \right)\\ -\frac{7}{20}\end{bmatrix}\\qs+\frac{177}{1250}=0\end{cases}\\
\begin{cases} r=-\frac{1}{2}-p \\ q=\frac{1}{10}\cdot \frac{20p^3+10p^2-9p+7}{4p+1}\\ s=\frac{1}{20}\cdot\frac{40p^3+40p^2-9p+7}{4p+1}\\
p^6+\frac{3}{2}p^5-\frac{3}{20}p^4-\frac{31}{40}p^3+\frac{7189}{10000}p^2+\frac{9439}{20000}p-\frac{3317}{20000}=0\\
\end{cases}}\)
Teraz trzeba rozwiązać te równanie szóstego stopnia
Po podstawieniu \(\displaystyle{ p=-\frac{1}{4}+y}\)
dostaniemy równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
\(\displaystyle{ p^6+\frac{3}{2}p^5-\frac{3}{20}p^4-\frac{31}{40}p^3+\frac{7189}{10000}p^2+\frac{9439}{20000}p-\frac{3317}{20000}=0\\
p=-\frac{1}{4}+y\\
y^6-\frac{87}{80}y^4+\frac{170899}{160000}y^2-\frac{23409}{102400}=0}\)
Rozwiązujemy powyższe równanie korzystając z podstawień podanych przy okazji rozwiązywania równania trzeciego stopnia
Wybieramy taki pierwiastek aby po powrocie do poprzedniej zmiennej
nie zerowały nam się mianowniki przy obliczaniu q oraz s
Można też sprowadzić wielomian czwartego stopnia najpierw do postaci różnicy kwadratów
Metodę tę można nazwać uzupełnianiem do kwadratu (Sierpiński nazywa ją metodą Ferrariego)
Pogrupujmy wielomian tak aby w pierwszym nawiasie były wyrazy z
\(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\) a w drugim trójmian kwadratowy
(między nawiasami stawiamy oczywiście znak minus)
\(\displaystyle{ 2000x^{4}-1000x^{3}-900x^{2}-700x-283,2=0
10000x^4-5000x^3-4500x^2-3500x-1416=0\\
\left(10000x^4-5000x^3 \right)-\left(4500x^2+3500x+1416 \right)\\}\)
Teraz uzupełniamy wielomian w pierwszym nawiasie do kwadratu
(dodajemy do obu nawiasów odpowiedni wyraz zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia )
\(\displaystyle{ \left(10000x^4-5000x^3 \right)-\left(4500x^2+3500x+1416 \right)=0\\
\left(10000x^4-5000x^3 +625x^2\right)-\left(\left(625+4500\right)x^2+3500x+1416 \right)=0\\
\left( 100x^2-25x\right)^2-\left( 5125x^2+3500x+1416\right)=0\\}\)
Teraz gdy wielomian z lewego nawiasu jest pełnym kwadratem chcemy aby
wielomian z prawego nawiasu też był pełnym kwadratem
Zauważmy że wielomian z prawego nawiasu jest trójmianem kwadratowym i będzie
pełnym kwadratem gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Gdybyśmy liczyli wyróżnik trójmianu od razu to mielibyśmy małe szanse że wyróżnik
będzie równy zero
Musimy więc wprowadzić nową zmienną tak aby wielomian z lewego nawiasu
nadal był pełnym kwadratem (znowu dodajemy do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia )
Po wprowadzeniu nowej zmiennej wyróżnik trójmianu kwadratowego z prawego nawiasu
uzależni się od wprowadzonej zmiennej i po przyrównaniu go do zera
dostaniemy równanie trzeciego stopnia
\(\displaystyle{ \left( 100x^2-25x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left(100y+5125\right)x^2+\left(-25y+3500\right)x+\frac{y^2}{4}+1416\right)=0\\
\Delta=0\\
4\left( \frac{y^2}{4}+1416 \right) \left(100y+5125\right)-\left(-25y+3500\right)^2=0\\
y^3+45y^2+7414y+167780=0\\}\)
Rozwiązujemy powyższe równanie korzystając z podstawień podanych przy okazji rozwiązywania równania trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia w postaci \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
sprowadzamy do postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
podstawiając \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\) oraz dzieląc przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
Podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\)
albo \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
sprowadzą równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
do równania kwadratowego
Podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{t}}\)
sprowadzi równanie trzeciego stopnia postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) do wzoru
na cosinus kąta potrojonego
Sposób z uzupełnianiem do kwadratu dość przystępnie opisuje Vax na swoim przykładzie
http://www.matematyka.pl/227371.htm
Jak chcesz to mogę ci przedstawić parę metod które nie wykorzystują rozkładu na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych tylko opierają się na tym że pierwiastki wielomianu czwartego stopnia można wyrazić za pomocą sumy trzech z sześciu pierwiastków równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Mam do ciebie pytanie
Ile wiesz o wielomianach symetrycznych
(Wielomiany symetryczne to takie które nie zmieniają swej wartości przy dowolnej permutacji zmiennych , Wzory Viete'a wiążą wielomiany symetryczne podstawowe pierwiastków wielomianu
ze współczynnikami wielomianu )
Równania wielomianowe czwartego stopnia pojawiały się już na forum
wystarczy wziąć wpis użytkownika Psiaczek (http://www.matematyka.pl/profiles/74693.htm) z tematu http://www.matematyka.pl/275801.htm#p4834554
Metoda zaproponowana przez poprzednika wiele ci nie da bo z tego co Wolfram pokazuje
to jest tylko jeden pierwiastek wymierny czyli dostałbyś do rozwiązania równanie trzeciego stopnia
Sprawdzając na ślepo te pierwiastki też sporo czasu byś stracił
Jeżeli będziesz miał jakieś pytania to pisz
Ja ,Vax albo Psiaczek pomożemy
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wielomian 4 stopnia
Osobiście chętnie poczytam.Jak chcesz to mogę ci przedstawić parę metod które nie wykorzystują rozkładu na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych tylko opierają się na tym że pierwiastki wielomianu czwartego stopnia można wyrazić za pomocą sumy trzech z sześciu pierwiastków równania szóstego stopnia