Szukanie wartości p i q podzielnego wielomianu

[damianjnc]

Witam,

Jak to rozwiązać:
"Wielomian\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}+px ^{3} -7x ^{2}+qx+12}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x ^{2}+3x-4}\). Znajdź wartości \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)."-

Pozdrawiam,
Damian

[Igor V]

\(\displaystyle{ w(x)=x ^{4}+px ^{3} -7x ^{2}+qx+12=Q(x)(x ^{2}+3x-4)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=x ^{4}+px ^{3} -7x ^{2}+qx+12=Q(x)(x-1)(x+4)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(1)=0 \\ w(-4)=0 \end{cases}}\)
Dwie niewiadome i podwójny układ równań.

[damianjnc]

Z skąd to wynika?-- 28 sty 2013, o 20:31 --Ile powinno wyjść, bo mi nie chce wyjśc?

[Ponewor]

To, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}+px ^{3} -7x^{2}+qx+12}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x^{2}+3x-4}\) oznacza właśnie ni mniej ni więcej, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q\left(x\right)}\), że zachodzi pierwsze równanie. Drugie równanie to przepisane drugie, tylko, że \(\displaystyle{ x^{2}+3x-4}\) zastąpiliśmy zgodnie z twierdzeniem Bezouta \(\displaystyle{ \left(x+4\right)\left(x-1\right)}\), bo \(\displaystyle{ -4}\) i \(\displaystyle{ 1}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ x^{2}+3x-4}\). Jak do drugiego równania wstawisz \(\displaystyle{ x=1}\) to otrzymasz trzecie, a jak \(\displaystyle{ x=-4}\), to otrzymasz czwarte. Jeśli nie wychodzi to pokaż jak liczysz.