Wielomiany z parametrem!

[Piotrek172]

Witam! Mam problem z następującym zadaniem:
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = (x-2)( x^{2} -2mx + 1 - m^{2})}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in R}\)
Dla jakich wartości parametru m, wielomian ma trzy różne pierwiastki??
No i tak na pewno trzeba rozważyć przypadek gdy to co w drugim nawiasie delta > 0 , tylko coś jeszcze a nie wiem co jakieś rady?

[najfajniejszy]

Jeśli przyrównasz \(\displaystyle{ W(x)}\) do zera, to z miejsca dostajesz pierwiastek \(\displaystyle{ 2}\). W związku z tym, aby otrzymać trzy różne pierwiastki, drugi nawias przyrównany do zera musi mieć dwa różne pierwiastki, ponadto oba muszą być różne od \(\displaystyle{ 2}\).

[Piotrek172]

Czyli z tego przyrównania w(x) do 0 wyjdzie kolejny zbiór??
Czy na koniec po przyrównaniu mam odjąć od tego zbioru co mi wyjdzie przy delcie > 0?

[najfajniejszy]

Nie no, masz:
\(\displaystyle{ W(x)=0 \Leftrightarrow (x-2)( x^{2} -2mx + 1 - m^{2})=0 \Leftrightarrow x-2=0 \vee x^{2} -2mx + 1 - m^{2}=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x^{2} -2mx + 1 - m^{2}=0}\)

Stąd \(\displaystyle{ W(x)}\) ma 3 różne pierwiastki w. i t. w., gdy równanie \(\displaystyle{ x^{2} -2mx + 1 - m^{2}=0}\) ma 2 pierwiastki, oba różne od 2. Teraz pomyśl, jakie warunki powinno spełniać to równanie, aby tak było.