Szukanie wielomianu o podanym pierwiastku - Jak Rozwiązać?

[damianjnc]

Witam,

jak rozwiązać takie dość trudniejsze zadanie:

"Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt{3}- \sqrt{7}}\)?

Z góry dzięki,
Damian

[piasek101]

Możesz zacząć normalnie \(\displaystyle{ x-a}\) i kombinować przez co domnożyć aby pierwiastki wyparowały.

[Qń]

Łatwiej:
\(\displaystyle{ x=\sqrt{3}- \sqrt{7}}\)
Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ x^2= 10 - 2\sqrt{21}}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{21}=10-x^2}\)
I znów do kwadratu:
\(\displaystyle{ 84= (10-x^2)^2}\)
czyli ta liczba to pierwiastek wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=(10-x^2)^2-84}\)

Q.

[damianjnc]

Skąd się wzięło to 10 i 2 pierwiastki z 21?

[konrad509]

Jak podniesiesz do kwadratu \(\displaystyle{ \sqrt{3}- \sqrt{7}}\) to tyle wyjdzie.