Równanie z parametrem.

[Krzychuwasik]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}, x _{3}}\) równania \(\displaystyle{ x ^{3} -3x ^{2}-6x+m=0}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ x _{2}=x _{1} \cdot q, x _{3}=x _{1} \cdot q ^{2}}\). Wyznacz te pierwiastki.

[lukasz1804]

Ze wzorów Viete'a mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1(1+q+q^2)=3 \\ x_1^2q(1+q+q^2)=-6 \end{cases}}\), skąd \(\displaystyle{ x_2=x_1q=-2}\). Z trzeciego wzoru Viete'a mamy \(\displaystyle{ -m=x_1x_2x_3=(x_1q)^3=x_2^3=-8}\), tj. \(\displaystyle{ m=8}\).

[Krzychuwasik]

A dlaczego mnożysz to przez (\(\displaystyle{ 1+q+q^2)}\) i to ma się równać \(\displaystyle{ 3?}\)

[lukasz1804]

Suma pierwiastków równa jest liczbie przeciwnej względem współczynnika przy \(\displaystyle{ x^2}\).