wspolczynnik przy najwyzszej potedze

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 13:13

Witam,
mam mały problem z rozwiązywaniem takich równań, bo jest tak, że wężyk zaczynamy rysować od dołu, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest ujeny. I tu jest pytanie, gdzie w tym równaniu \(\displaystyle{ (2 - x)(3x + 1)(2x - 3) > 0}\) znaleźć ten współczynnik, czy jest dodatni czy też nie?
Mam miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1} = 2}\) \(\displaystyle{ x_{2} = - \frac{1}{3}}\) \(\displaystyle{ x_{3} = \frac{3}{2}}\) przez nie ma przechodzic wężyk, dalej nie wiem.
I jeszcze jedno pytanko, kiedy odbija się podwójnie np. na doł lub na górę węzyk?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 sty 2013, o 13:17

Współczynnik przy najwyższej potędze to przy Twoim zapisie iloczyn liczb stojących przy iskach w każdym nawiasie, a więc

\(\displaystyle{ (-1)\cdot 3\cdot 2=-6}\)

Wężyk odbija się, gdy miejsca zerowe są parzystej krotności, tzn przy rozwiązaniu wyjdzie Ci parzyście wiele takich samych miejsc zerowych. Jak jest ich nieparzyście wiele, to wężyk przebija się przez oś.

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 13:22

ok, mam juz wspołczynnik - ujemny, więc od dołu mam zacząć rysować, ale od której strony, prawej czy lewej?

Wężyk odbija się, gdy miejsca zerowe są parzystej krotności, tzn przy rozwiązaniu wyjdzie Ci parzyście wiele takich samych miejsc zerowych. Jak jest ich nieparzyście wiele, to wężyk przebija się przez oś.

parzyscie wiele np. 2 4 itd, a jak jest np. 3 to przebija, tak?
mam taki przyklad: \(\displaystyle{ (3x - 2)(x - 3)^{3}(x + 1)^{3}(x + 2)^{4} < 0}\)
przy potędze 4 odbija sie ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 sty 2013, o 13:25

Współczynnik ujemny przy najwyżej potędze oznacza, że rysując od prawej strony rysujesz od dołu.

Odpowiedź na Twoje drugie pytanie jest twierdząca. W Twoim przykładzie wężyk zawsze będzie przebijać.

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 13:26

tutaj jest ten 2 przyklad: \(\displaystyle{ (3x - 2)(x - 3)^{3}(x + 1)^{3}(x + 2)^{4} < 0}\) wtedy przy potędze 4 wezyk sie odbija?
ps. zawsze rysuje sie od prawej strony niezaleznie od wspolczynnika, czy ujemny czy dodatni?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 26 sty 2013, o 13:30

Najlepiej zrobisz, wyciągając przed każdy nawias współczynniki przy x,doprowadzając do sytuacji

\(\displaystyle{ k \cdot(x- x_{1})(x- x_{2}) \cdot .... \cdot (x- x_{n})>0}\)

przy czym tak poustawiaj nawiasy, żeby \(\displaystyle{ x_{1}< x_{2}< ... < x_{n}}\)

Wówczas zaczynasz rysować wykres od prawej strony, stosując zasady przedstawione przez Yorgina, tj.:

Wężyk odbija się, gdy miejsca zerowe są parzystej krotności, tzn przy rozwiązaniu wyjdzie Ci parzyście wiele takich samych miejsc zerowych. Jak jest ich nieparzyście wiele, to wężyk przebija się przez oś.

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 13:55

dzieki, jeszcze takie pytanie odnosnie funkcji kwadratowej & miejsc zerowych:
rozwiąż nierówność: \(\displaystyle{ (x^{2} - x - 6)(x^{2} + 2x + 3) < 0}\) mam dwa miejsca zerowe, bo drugi nawias nie ma miejsc zerowych i co dalej?

Post autor: **loitzl9006** » 26 sty 2013, o 14:00

Dzielisz nierówność obustronnie przez liczbę \(\displaystyle{ (x^2+2x+3)}\) czyli liczbę zawsze dodatnią.

Po podzieleniu:

\(\displaystyle{ x^2-x-6<0}\)

dalej wiadomo: \(\displaystyle{ \Delta, \ x_1, \ x_2}\) i wykres, potem odczytujesz rozw. z wykresu.

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 14:33

dzieki, jeszcze jedno takie zadanie (podobne):
\(\displaystyle{ (16 - x^{2})(x^{2} + 4)(x^{2} + x + 1)(x^{2} - x - 3) \le 0}\) => dziele przez \(\displaystyle{ (x^{2} + x + 1)}\) i mam \(\displaystyle{ (16 - x^{2})(x^{2} + 4)(x^{2} - x - 3) \ge 0}\)i teraz jak wyliczyć współczynnik czy dodatni czy ujemny?

Post autor: **loitzl9006** » 26 sty 2013, o 15:12

\(\displaystyle{ (16 - x^{2})(x^{2} + 4)(x^{2} - x - 3) \ge 0}\)

Podziel jeszcze przez \(\displaystyle{ \left( x^2+4\right)}\).

jak wyliczyć współczynnik czy dodatni czy ujemny?

Patrzysz na najwyższą potęgę w każdym z nawiasów. Istotne jest to, czy przed najwyższymi potęgami jest plus czy minus:
\(\displaystyle{ (16 \red - x^{2} \black)(\red x^{2} \black - x - 3) \ge 0}\)

Teraz mnożymy te potęgi (wraz ze znakami, tak naprawdę to one tylko się liczą!):

\(\displaystyle{ -x^2\cdot x^2=-x^4}\)

zatem ujemny współczynnik, bo minus jest.

W Twoim wyjściowym przykładzie

\(\displaystyle{ (2 \red - \black x )(\red + \black 3x + 1)(\red + \black 2x - 3)}\)

minus razy plus razy plus daje minus, więc współczynnik jest ujemny.

dzun · Post autor: **dzun** » 26 sty 2013, o 15:31

dzieki ;] mysle ze to juz ostatnie pytanie w tym temacie, dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + x^{2} - 2}\)
rozwiąż równanie \(\displaystyle{ W(x + 3) = 0}\) i mam: \(\displaystyle{ W(x + 3) = (x + 3)^{4} + (x + 3)^{2} - 2 = 0}\)
nie wiem jak sie do tego zabrac, jak rozlozyc itp. kombinuje tak:
\(\displaystyle{ [(x + 3)^{2}]^{2} + x^{2} + 6x + 9 - 2 = 0}\) => \(\displaystyle{ (x^{2} + 6x + 9)(x^{2} + 6x + 9) + x^{2} + 6x + 7 = 0}\)

Post autor: **loitzl9006** » 26 sty 2013, o 21:04

Można powymnażać wszystko, ale dużo roboty...

\(\displaystyle{ W(x + 3) = (x + 3)^{4} + (x + 3)^{2} - 2 = 0}\)

W tym równaniu podstaw \(\displaystyle{ (x+3)^2=t}\) z założeniem \(\displaystyle{ t>0}\).

Wtedy masz \(\displaystyle{ t^2+t-2=0}\)

Wyznaczasz \(\displaystyle{ \Delta, \ t_1, \ t_2}\), wybierasz dodatnie \(\displaystyle{ t}\), potem robisz podstawienie zwrotne \(\displaystyle{ t=(x+3)^2}\) i rozwiązujesz proste równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\).