Najmniejsza i największa wartość funkcji

[zielonalona]

Cześć
Od dawien dawna wasze forum pomaga rozwiązać mi mniej i bardziej skomplikowane zadania
Na początek powiem, że jestem zupełnie zielona z matematyki Ale nie zależy mi na rozwiązaniu zadania, a na zrozumieniu jak to zrobić. W związku z tym byłabym wdzięczna o pokazanie krok po kroku w jaki sposób wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

Powiedzmy dla przykładu:
\(\displaystyle{ F \left( x \right) = x^{3} - x^{2} -5x +5}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ -3,3 \right]}\)

[piasek101]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ F(-3)}\) oraz \(\displaystyle{ F(3)}\).

Potem pochodną danej i ekstrema (dwa).

Spośród czterech wyznaczonych wybrać co chcieli.

Próbuj - pokazuj.

[zielonalona]

To tak...
\(\displaystyle{ F(-3)= -3^{3}-(-3)^{2}-5(-3)+5 = -27-9+15+5 = -16

F(3)= 3^{3}-3^{2}-5 \cdot 3+5 = 27-9-15+5 = 8}\)

Nie wiem czy dobrze, ale poniżej pochodna funkcji:
\(\displaystyle{ F(x)= x^{3}-x^{2}-5x+5
F(x+h)=(x+h)^{3}-(x+h)^{2}-5(x+h)+5=x^{3}+h^{3}-x^{2}+h^{2}-5x-5h+5}\)

\(\displaystyle{ F'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x^{3}+h^{3}-x^{2}+h^{2}-5x-5h+5-(x^{3}-x^{2}-5x+5)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^{3}+h^{2}-5h}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h(h^{2}+h-5}{h}=\lim_{h\to 0}h^{2}+h-5}\)
I to by było na tyle... Dobrze wyliczyłam pochodną?
I co teraz? Jak policzyć ekstrema?

[konrad509]

A po co z definicji? Ale ogólnie źle...-- 24 sty 2013, o 23:13 --\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2x-5}\)

[zielonalona]

Konrad509 a powiesz mi gdzie zrobiłam błąd i jakim sposobem obliczyłeś swój wynik?

[konrad509]

Wzory są gotowe na pochodne
A Twojego pomijając, że nie chce mi się sprawdzać to sam z definicji właściwie nigdy nie liczyłem xD

[zielonalona]

Akurat taki sposób "wyguglałam"

A mógłbyś podać wzór z którego korzystałeś? Spróbuję zrobić wg. niego.

[konrad509]

Wystarczy wpisać w google "pochodne wzory". Albo wejść bezpośrednio na Wikipedię.

[zielonalona]

Niestety, albo jestem głupia, albo już zmęczona, ale poza wzorem, który zastosowałam nie jestem w stanie odnaleźć w Google'u żadnego innego, który potrafiłabym zastosować w tym przypadku

Mógłby ktoś napisać chociaż wg. jakiego wzoru powinnam policzyć pochodną i extremy? I gdzie popełniłam błąd w tym co napisałam wcześniej?

Tak jak pisałam, nie zależy mi na gotowym rozwiązaniu tylko na zrozumieniu w jaki sposób to obliczyć.

[konrad509]

Po wpisaniu w goolge tego co napisałem, już pierwszy link kieruje do strony ze wzorami.
Na Wikipedii są tu:
... _pochodnej


A wzór, który ja zastosowałem to:
\(\displaystyle{ \left(x^n\right)'=nx^{n-1}}\)

-- 24 sty 2013, o 23:54 --

U Ciebie jest np. źle to, że \(\displaystyle{ (x+h)^{3}\not=x^3+h^3}\). Kłaniają się wzory skróconego mnożenia.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ F\left( x\right) =x^{3} - x^{2} -5x +5\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{\left(\left( x+h\right)^3-\left( x+h\right)^2-5\left( x+h\right) -5 \right)-\left(x^{3} - x^{2} -5x +5 \right) }{h} } \\
= \lim_{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^2-2xh-h^2-5x-5h-5-x^3+x^2+5x-5}{h}\\
=\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-2xh-h^2-5h}{h}\\
= \lim_{h \to 0}\frac{h\left( 3x^2+3xh+h^2-2x-h-5\right) }{h}\\
=3x^2-2x-5}\)

Funkcja F(x) jest rosnąca gdy F'(x) jest dodatnia
Funkcja F(x) jest stała gdy F'(x) jest równa zero
Funkcja F(x) jest malejąca gdy F'(x) jest ujemna

W sumie to dobrze że na początku liczysz pochodne na granicach


Obliczasz \(\displaystyle{ 3x^2-2x-5=0}\)
oraz sprawdzasz czy zachodzi zmiana znaku w otoczeniu miejsc zerowych pochodnej
-0+ minimum
+0- maximum

[zielonalona]

Czyli mając \(\displaystyle{ 3x^{2}-2x-5=0}\) obliczam deltę:
\(\displaystyle{ \wedge =b^{2} -4ac=-2^{2}-4(3 \cdot -5)=4+60=64}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\wedge} =8}}\)
I miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-b-\sqrt{\wedge}}{2a}= \frac{2-8}{6}= \frac{-6}{6}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-b+\sqrt{\wedge}}{2a}= \frac{2+8}{6}= \frac{5}{3}}\)
Czyli rozumiem, że minimum to -1 a maximum \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)?

Nie bardzo rozumiem co znaczy:

oraz sprawdzasz czy zachodzi zmiana znaku w otoczeniu miejsc zerowych pochodnej
-0+ minimum
+0- maximum

[Mariusz M]

Jezeli po lewej stronie miejsca zerowego pochodna jest ujemna a po prawej dodatnia to masz minimum lokalne
(badana funkcja maleje a po osiegnieciu miejsca zerowego pochodnej rosnie ,czyli masz minimum lokalne
analogicznie dla maximum lokalnego)

[zielonalona]

Jezeli po lewej stronie miejsca zerowego pochodna jest ujemna a po prawej dodatnia to masz minimum lokalne
(badana funkcja maleje a po osiegnieciu miejsca zerowego pochodnej rosnie ,czyli masz minimum lokalne
analogicznie dla maximum lokalnego)

Błagam napisz mi to na jakimś przykładzie np. moim
Jestem zbyt tępa z matematyki by zrozumieć po przeczytaniu o czym mówisz.

[piasek101]

W tym zadaniu to nieistotne - wielomian (trzeciego stopnia) ma trzy miejsca zerowe, więc dwa ekstrema.

Masz miejsca zerowe pochodnej; sprawdzasz czy siedzą w danym przedziale (z zadania). Jeśli tak (a tak) to liczysz wartości funkcji (nie licz z pochodnej) dla tych dwóch x-sów.

I jak pisałem na początku - z czterech wartości wybierasz największą i najmniejszą.