Wykazanie podzielności wielomianu przez trójmian

[kacper4991]

Mam problem z zadaniem o treści:
Udowodnij że \(\displaystyle{ \bigwedge \limits_ {n\in N+} (x-1) ^ {2}}\) dzieli wielomian \(\displaystyle{ n* x ^ {n+1} - (n+1) * x ^ {n} + 1}\)

[octahedron]

Indukcyjnie:

\(\displaystyle{ W_n(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\\\\
W_1(x)=\,x^2-2x+1=(x-1)^2\\\\
W_{n+1}=(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1=\\\\=nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x+1+x^{n+2}-x^{n+1}-x=\\\\
=x\big[nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\big]+x\big[x^{n+1}-1\big]-\big[x^{n+1}-1\big]=\\\\
=xW_n(x)+(x-1)\big[x^{n+1}-1\big]}\)

\(\displaystyle{ x^{n+1}-1}\) zeruje się dla \(\displaystyle{ x=1}\), czyli dzieli się przez \(\displaystyle{ x-1}\), zaś \(\displaystyle{ W_n(x)}\) dzieli się z założenia przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\)

[tometomek91]

Albo tak po prostu:
\(\displaystyle{ n x ^ {n+1} - (n+1) x ^ {n} + 1=nx^n(x-1)-(x^n-1)=(x-1)[nx^n-(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)]}\)
i wyrażenie w kwadratowym nawiasie daje zero, gdy za x da się jedynkę, skąd teza.