Wykaż, że dany wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.

Zuza1337 · Post autor: **Zuza1337** » 19 sty 2013, o 00:44

\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 6}\)

Proszę o wskazanie, jak wyznaczyć te pierwiastki, najlepiej krok po kroku. Nie potrafię tego zrobić.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 19 sty 2013, o 00:56

Gdyby ten wielomian o współczynnikach całkowitych miał pierwiastki wymierne, czyli pierwiastki postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ a}\) byłoby dzielnikiem wyrazu wolnego a \(\displaystyle{ b}\) byłoby dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.
Wystarczy więc wypisać wszystkie możliwe liczby \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) i sprawdzić, czy są pierwiastkami tego wielomianu.

Zuza1337 · Post autor: **Zuza1337** » 19 sty 2013, o 00:59

Nie rozumiem. Proszę o dokładniejsze wyjaśnienie i obliczenia.

Znaczy... Wypisałam sobie te pierwiastki, które wezmę pod uwagę: \(\displaystyle{ -6,6,-3,3,-2,2,-1,1...}\) A w odpowiedziach nie są wszystkie te pierwiastki uwzględnione.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 19 sty 2013, o 01:17

Czyżby polecenie było takie jak tytuł Twojego posta? Jeśli tak, to pewnie ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. A co jest w odpowiedziach?

Zuza1337 · Post autor: **Zuza1337** » 19 sty 2013, o 01:22

Odpowiedź: \(\displaystyle{ W(-1) \neq 0 \wedge W(1) \neq 0 \wedge W(-2) \neq 0 \wedge W(-6) \neq 0 \wedge W(6) \neq 0}\)

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 19 sty 2013, o 01:28

No to zapomnieli o \(\displaystyle{ 2,3}\) i \(\displaystyle{ -3}\). Chodzi właśnie o to, że sprawdzasz, czy któraś z tych liczb zeruje wielomian. Jak zeruje to jest jego pierwiastkiem. Jak żadna z tych liczb nie zeruje wielomianu to on nie ma pierwiastków wymiernych i koniec zadania.

Zuza1337 · Post autor: **Zuza1337** » 19 sty 2013, o 01:31

Dziękuję.