Witam,
mam prosbe o rozpisanie i wytlumaczenie tego zadania:
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{4} + px^{3} + qx + rx + 4 = 0}\)?
wartosci parametrów p, q i r
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
wartosci parametrów p, q i r
\(\displaystyle{ \blue W(x)=x^{4} + px^{3} + qx^2 + rx + 4}\)
\(\displaystyle{ 1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to znaczy, że wielomian ma postać
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^3(x-x_o)}\) - \(\displaystyle{ x_o}\) to czwarty pierwiastek wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-3x^2+3x-1)(x-x_o)=x^4-x_ox^3-3x^3+3x_ox^2+3x^2-3x_ox-x+x_o=}\)
\(\displaystyle{ =x^4+(-3-x_o)x^3+(3x_o+3)x^2+(-3x_o-1)x+x_o}\)
\(\displaystyle{ x^4+(-3-x_o)x^3+(3x_o+3)x^2+(-3x_o-1)x+x_o\equiv x^{4} + px^{3} + qx^2 + rx + 4\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}}\)
\(\displaystyle{ \ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \begin{cases} -3-x_o=p\\3x_o+3=q\\-3x_o-1=r\\x_o=4\end{cases}\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue x_o=4\ \ \ p=-7\ \ \ q=15\ \ \ r=-13}\)
\(\displaystyle{ \magenta W(x)=x^4-7x^3+15x^2-13x+4}\)
\(\displaystyle{ 1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to znaczy, że wielomian ma postać
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^3(x-x_o)}\) - \(\displaystyle{ x_o}\) to czwarty pierwiastek wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=(x^3-3x^2+3x-1)(x-x_o)=x^4-x_ox^3-3x^3+3x_ox^2+3x^2-3x_ox-x+x_o=}\)
\(\displaystyle{ =x^4+(-3-x_o)x^3+(3x_o+3)x^2+(-3x_o-1)x+x_o}\)
\(\displaystyle{ x^4+(-3-x_o)x^3+(3x_o+3)x^2+(-3x_o-1)x+x_o\equiv x^{4} + px^{3} + qx^2 + rx + 4\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}}\)
\(\displaystyle{ \ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \begin{cases} -3-x_o=p\\3x_o+3=q\\-3x_o-1=r\\x_o=4\end{cases}\ \ \color{green}\Rightarrow\color{black}\ \ \blue x_o=4\ \ \ p=-7\ \ \ q=15\ \ \ r=-13}\)
\(\displaystyle{ \magenta W(x)=x^4-7x^3+15x^2-13x+4}\)