Witam, kompletnie nie wychodzi mi rozwiązywanie tego układu. Podpowiecie, jak się za niego zabrać?
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x^{2} + y^{2})xy=10 \\ x^{4}+y^{4}=17 \end{cases}}\)
Układ równań nieliniowych
Układ równań nieliniowych
Ostatnio zmieniony 18 sty 2013, o 11:24 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
czekoladowy
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
Układ równań nieliniowych
Podstawiamy : \(\displaystyle{ \begin{cases} a=x^2+y^2 \\ b=xy \end{cases} .}\)
Wtedy nasz układ przyjmuje postać :
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=10 \\ a^2 -2b^2=17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ (\frac{10}{b})^2-2b^2=17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ 100-2b^4=17b^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ 2b^4+17b^2-100=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \delta_{b^2}=33}\)
Teraz rozpatrujmy tylko dodatnie rozwiązania (reszta jest przez nie generowana)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ b^2= \frac{-17+33}{4}=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5 \\ b=2 \end{cases}}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=5 \\ xy=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}}\)
Rozwiązaniami danego układu równań są pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) : \(\displaystyle{ (1;2)}\) , \(\displaystyle{ (-1;-2)}\),\(\displaystyle{ (2;1)}\),\(\displaystyle{ (-2;-1)}\).
Wtedy nasz układ przyjmuje postać :
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=10 \\ a^2 -2b^2=17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ (\frac{10}{b})^2-2b^2=17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ 100-2b^4=17b^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ 2b^4+17b^2-100=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \delta_{b^2}=33}\)
Teraz rozpatrujmy tylko dodatnie rozwiązania (reszta jest przez nie generowana)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \begin{cases} ab=10 \\ b^2= \frac{-17+33}{4}=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5 \\ b=2 \end{cases}}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=5 \\ xy=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases} \vee \begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}}\)
Rozwiązaniami danego układu równań są pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) : \(\displaystyle{ (1;2)}\) , \(\displaystyle{ (-1;-2)}\),\(\displaystyle{ (2;1)}\),\(\displaystyle{ (-2;-1)}\).