wielomian- zad.

[tukanik]

Witam
Jak zrobić takie zadanie:
Wykaż, że nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\)stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki:
\(\displaystyle{ W(2) = 3}\) i \(\displaystyle{ W(-2) =2.}\)

[bartek118]

\(\displaystyle{ W(a)-W(b)}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ a-b}\).

[monis44]

Kiedy weźmiemy sobie dowolny wielomian stopnia trzeciego i podstawimy pod x podane wartosci, otrzymamy dwa równania z 4 niewiadomymi(nasze parametry). Dodaj te dwa równania stronami i otrzymasz równanie z dwoma parametrami, z którego będzie wynikało że nie istnieją takie liczby całkowite które spełniałyby to równanie.

[tukanik]

monis, dzięki
Faktycznie tak jest. Robiłem nawet tak, ale nie wyciągnąłem odpowiednich wniosków.
Wychodzi, że 4b + 2d = 2,5.
Muszę to jakoś specjalnie komentować (uzasadniać) czy to wystarczy?

W(a)-W(b) musi być podzielne przez a-b.

Możesz mi powiedzieć z czego to wynika?

[monis44]

Myślę że wystarczy napisać że nie istnieją takie liczby naturalne b,d które spełniałyby podane równanie. Możesz jeszcze podzielić przez dwa i wyznaczyć d w zależnosci od b. Może wtedy będzie to jeszcze bardziej widoczne. Chociaż myślę, ze i tak to dobrze widać na tym co już zostało napisne;)

[tukanik]

dziękuję

[Ponewor]

W(a)-W(b) musi być podzielne przez a-b.

Możesz mi powiedzieć z czego to wynika?

Zapisz sobie nasz wielomian.
zapisz \(\displaystyle{ W \left(a \right)}\), potem \(\displaystyle{ W \left( b \right)}\). Odejmij. Wyrazy wolne wielomianów się uproszczą, a dalej zwijaj zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia.

[tukanik]

jak mam to zwijać skoro ja w swojej postaci po odjęciu wielomianów nie mam kwadratów?

[Ponewor]

jak mam to zwijać skoro ja w swojej postaci po odjęciu wielomianów nie mam kwadratów?

\(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=\left(a -b \right) \left(a^{n-1}+a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2}+b^{n-1} \right)}\)