wielomian bez pierwiastków całkowitych

[theoldwest]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f(x)=(2a+1)x^3+(2b+1)x^2+2cx+2d+1}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są ustalonymi liczbami całkowitymi.

Pokazać, że nie ma on pierwiastków całkowitych.

[Ponewor]

Załóżmy, że pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ k}\) istnieje. Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianiu o całkowitych współczynnikach: \(\displaystyle{ k|2d+1}\), co implikuje: \(\displaystyle{ k \equiv 1 \pmod{2}}\). Mamy:
\(\displaystyle{ f \left(k \right) \equiv 1 \cdot 1^{3} + 1 \cdot 1^{2}+0 \cdot 1 +0+1 \equiv 3 \equiv 1 \pmod{2}}\)
Z drugiej strony mamy:
\(\displaystyle{ f \left( k \right) \equiv 0 \pmod{2}}\)
Sprzeczność.

[theoldwest]

A dlaczego \(\displaystyle{ f(k) \equiv 0 \pmod{2}}\)? (swoją drogą zrobiłem to przed chwilą trochę inaczej)

[Vax]

Można uogólnić i pokazać, że dany wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu mamy \(\displaystyle{ x = \frac{p}{q}}\) dla pewnych nieparzystych \(\displaystyle{ p,q}\), stąd \(\displaystyle{ W(x) = 0 \iff (2a+1)p^3 + (2b+1)p^2q + 2cpq^2 + 2dq^3 + q^3 = 0}\), sprzeczność, gdyż jest to suma 3 liczb nieparzystych i dwóch parzystych co będzie nieparzyste.

[Ponewor]

\(\displaystyle{ f \left( k \right) =0 \Rightarrow f \left( k \right) \equiv 0 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ a=b \Rightarrow a \equiv b \pmod{d}}\)
Implikacja w drugą stronę nie zachodzi.

[theoldwest]

\(\displaystyle{ f \left( k \right) =0 \Rightarrow f \left( k \right) \equiv 0 \pmod{2}}\)

No tak, bo \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem, powiedzmy, że zwalę to na późną porę, że nie zwróciłem na to uwagi