trzy różne pierwiastki, parametr

[patidadi]

Witam,
Może ktoś mi udzielić wskazówki do zadania, bo nie pamiętam jakie warunki trzeba podstawić... mam zadanie:
Dla jakich wartości parametru m \(\displaystyle{ m \in R}\) równanie
\(\displaystyle{ x^{5}+(1-2m)x^{3}+(m^{2}-1)x=0}\) ma trzy różne pierwiastki?

Bo myślałam żeby x wystawić przed nawias i wtedy by wyszła f. kwadratowa, ale przecież to by były warunki na dwa pierwiastki i już w ogóle nie mam koncepcji...

[777Lolek]

tam na pewno jest \(\displaystyle{ x^5}\) ?
tak czy inaczej, jednym z pierwiastków tego równania jest \(\displaystyle{ x=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ m}\) . Jeśli po wyjęciu \(\displaystyle{ x}\) przed nawias szukasz sytuacji w której masz dwa pierwiastki różne od \(\displaystyle{ 0}\) .

[bb314]

Przyjmuję, że się pomyliłaś, a równanie miało być takie:

\(\displaystyle{ \blue x^{3}+(1-2m)x^{2}+(m^{2}-1)x=0\ \ \ \to\ \ \ x\left[ x^2+(1-2m)x+(m^2-1)\right]=0}\)

stąd jeden pierwiastek to \(\displaystyle{ \magenta x=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+(1-2m)x+(m^2-1)=0}\)
to równanie ma dwa różne pierwiastki i różne od zera, gdy
\(\displaystyle{ \Delta>0\ \ \wedge\ \ x_1\cdot x_2>0}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-2m)^2-4(m^2-1)>0\\ m^2-1>0 \end{cases}}\)
z tego układu wyliczysz \(\displaystyle{ m}\)


gdyby jednak to równanie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ \blue x^{5}+(1-2m)x^{3}+(m^{2}-1)x=0\ \ \ \to\ \ \ x\left[ x^4+(1-2m)x^2+(m^2-1)\right]=0}\)

stąd jeden pierwiastek to \(\displaystyle{ \magenta x=0}\)

\(\displaystyle{ x^4+(1-2m)x^2+(m^2-1)}\)
żeby to równanie miało dwa różne pierwiastki i różne od zera, musi być
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-2m)^2-4(m^2-1)=0\\ m^2-1>0 \end{cases}}\)
to równanie da jedną wartość \(\displaystyle{ x^2}\) i stąd będą dwa pierwiastki \(\displaystyle{ -\sqrt{x^2}\ \vee\ \sqrt{x^2}}\)

[patidadi]

tak tam było najpierw \(\displaystyle{ x^{5}}\) potem \(\displaystyle{ x^{3}}\) a na koncu x, ale też pomyślałam własnie o wystawieniu x przed nawias, wtedy byłby to wielomian 4go stopnia, podstawiłabym \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i warunki takie same by były jak napisałeś, tak? bo chyba nic to nie zmienia?

[777Lolek]

jeśli jest tak jak teraz powiedziałaś to w nawiasie dostaniesz równanie dwukwadratowe, z którego możesz dostać nawet 4 rozwiązania. Masz mieć dwa.