Nierówność wielomianowa

[ptrycja]

Witam, nie wiem jak rozwiązać tą nierówność, sposoby rozkładu na czynniki, które znam w tym przypadku nie działają...
\(\displaystyle{ x^{3}-7x+1 > 0}\)

[konrad509]

Nie ma błędu w treści zadania?

[ares41]

wzory Cardano

[bb314]

Do rozwiązania równania trzeciego stopnia potrzebne są dwa podstawienia, podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych (w tym wzory de Moivre), umiejętność rozwiązania równania kwadratowego. Wzory Viete'a i twierdzenie Bezout są opcjonalne.

Przypomnę teraz wzory Viete'a dla równania kwadratowego
ponieważ będą przydatne przy tym podstawieniu którego używam
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{a_{1}}{a_{2}}\\x_{1}x_{2}=\frac{a_{0}}{a_{2}}\end{cases}}\)


Spróbujmy znaleźć pierwiastki równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0\\
x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
a_{3}\left(y^3-3\frac{a_{2}}{3a_{3}}y^2+3\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}y-\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^3} \right)+a_{2}\left(y-2\frac{a_{2}}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}\right)+a_{1}\left(y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)+a_{0}=0\\
a_{3}y^3+a_{2}y^2+\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^2}+a_{2}y-2\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{9a_{3}^2}+a_{1}y-\frac{a_{2}a_{1}}{3a_{3}}+a_{0}=0\\
a_{3}y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^2}=0\\
y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}^2}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^3}=0\\
y^3+py+q=0}\)

Teraz mamy do dyspozycji jedno z dwóch podstawień

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

\(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ y=u+v}\) sprowadzi równanie trzeciego stopnia do wzorów Viete'a równania kwadratowego. Korzystając ze wzorów Viete'a układamy równanie kwadratowe i rozwiązujemy je.

Podstawienie \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\) sprowadzi równanie trzeciego stopnia od razu do równania kwadratowego, ale trzeba wziąć niezerowy pierwiastek równania kwadratowego. Gdy równanie kwadratowe ma oba pierwiastki zerowe to wyjściowe równanie trzeciego stopnia jest pełnym sześcianem.


Zajmijmy się pierwszym podstawieniem

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0\\
\left(u+v\right)^3+p\left(u+v\right)+q=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p\left(u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+q+3\left(u+v\right)\left(uv+\frac{p}{3}\right)=0\\
\begin{cases}u^3+v^3+q=0 \\ \left(uv+\frac{p}{3}\right)=0\end{cases}\\
\begin{cases}u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3}\end{cases}\\
\begin{cases}u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27}\end{cases}\\}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego

\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0\\
\Delta=q^2+4\frac{p^3}{27}\\
t_{1}=\frac{-q-\sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2}\\
t_{2}=\frac{-q+\sqrt{q^2+4\frac{p^3}{27}}}{2}\\
t_{1}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\\
t_{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\\}\)

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
będzie pierwiastkiem trzeciego stopnia z jedynki wówczas

\(\displaystyle{ x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
x_{2}=\varepsilon \cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\varepsilon^2 \cdot\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
x_{3}=\varepsilon^2 \cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\varepsilon \cdot\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\}\)

[ptrycja]

nie sądziłam, ze to bedzie aż tak skomplikowane, szczególnie ze polecenie to wyznaczyć dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x) = ln\left( x^3-7x+1\right)}\)

[konrad509]

To może jednak jest błąd w treści?

[ptrycja]

takie zadanie dostałam, może nauczyciel się pomylił...

[Mariusz M]

Pierwiastki tego wielomianu mozna tez otrzymac sprowadzajac rownanie

\(\displaystyle{ x^3-7x+1=0}\)

do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus badz cosinus) kata potrojonego

Musisz jednak znac pojecie funkcji , zlozenia funkcji , funkcji odwrotnej
aby zdefiniowac sobie funkcje za pomoca ktorej policzysz kat

\(\displaystyle{ \cos{3t}=4\cos^{3}{t}-3\cos{t}\\
4\cos^{3}{t}-3\cos{t}-\cos{3t}=0\\
x^3-7x+1=0\\
x=y\cos{t}\\
y^3\cos^{3}{t}-7y\cos{t}+1=0\\
\cos^{3}{t}- \frac{7}{y^2}\cos{t}+ \frac{1}{y^3}=0\\
4\cos^{3}{t}-\frac{28}{y^2}\cos{t}+ \frac{4}{y^3}=0\\}\)

Aby podstawienie sprowadzalo rownanie \(\displaystyle{ x^3-7x+1=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{28}{y^2}=3\\
28-3y^2=0\\
\left( 2 \sqrt{7}+ \sqrt{3}y \right)\left( 2 \sqrt{7}- \sqrt{3}y \right)=0\\
y= 2 \sqrt{ \frac{7}{3} }\\}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=2 \sqrt{ \frac{7}{3} }\cos{t}}\)
rownanie \(\displaystyle{ x^3-7x+1=0}\) przyjmie postac wzoru na funkcje trygonometryczne (tutaj cosinus)
kata potrojonego

\(\displaystyle{ 4\cos^{3}{t}-3\cos{t}+ \frac{3}{98} \sqrt{21}=0\\
4\cos^{3}{t}-3\cos{t}=- \frac{3}{98} \sqrt{21}\\
\cos{3t}=-\frac{3}{98} \sqrt{21}\\
x_{1}= 2 \sqrt{ \frac{7}{3} }\cos{\left( \frac{1}{3}\cos^{-1}{\left(- \frac{3}{98} \sqrt{21} \right) } \right) }\\
x_{2}=2 \sqrt{ \frac{7}{3} }\cos{\left( \frac{1}{3}\left( \cos^{-1}{\left(- \frac{3}{98} \sqrt{21} \right) }+2\pi\right)\right) }\\
x_{3}=2 \sqrt{ \frac{7}{3} }\cos{ \left( \frac{1}{3}\left( \cos^{-1}{\left(- \frac{3}{98} \sqrt{21} \right) }+4\pi\right)\right) }}\)

\(\displaystyle{ \cos^{-1}{\left( x\right) }}\) to funkcja odwrotna do cosinusa

ptrycja, zakladajac ze podalas(es) prawdziwa date urodzenia
20 lat masz skonczone wiec pewnie jestes juz na studiach
a skoro tak to mialas juz wszystkie wiadomosci niezbedne do
zastosowania metody przedstawionej przez bb314
Po skorzystaniu ze wzorow de Moivra oraz wymnozeniu tych pierwiastkow
przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki tez dostaniesz pierwiastki wielomianu trzeciego
stopnia wyrazone przez funkcje trygonometryczne (cosinus)

[kinia7]

\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0\\
x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
a_{3}\left(y^3-3\frac{a_{2}}{3a_{3}}y^2+3\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}y-\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^3} \right)+a_{2}\left(y-2\frac{a_{2}}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^2}{9a_{3}^2}\right)+a_{1}\left(y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)+a_{0}=0\\
a_{3}y^3+a_{2}y^2+\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^2}+a_{2}y-2\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{a_{2}^3}{9a_{3}^2}+a_{1}y-\frac{a_{2}a_{1}}{3a_{3}}+a_{0}=0\\
a_{3}y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^2}=0\\
y^3+\frac{3a_{3}a_{1}-a_{2}^2}{3a_{3}^2}y+\frac{2a_{2}^3-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^2a_{0}}{27a_{3}^3}=0\\
y^3+py+q=0}\)

'
W czwartej linijce wkradło się kilka błędów. Powinno być:

\(\displaystyle{ a_{3}y^3\color{red}{\textbf{ -- }}\color{black}{a_{2}y^2}+\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y\color{red}{\textbf{ -- }}\color{black}{\frac{a_{2}^3}{27a_{3}^2}}+a_{2}y^{\color{red}{2}}\color{black}{-2\frac{a_{2}^2}{3a_{3}}y}+\frac{a_{2}^3}{9a_{3}^2}+a_{1}y-\frac{a_{2}a_{1}}{3a_{3}}+a_{0}=0}\)

dalej jest OK