Liczba z jest pierwiastkiem wielomianu, wyznaczyć p i q

[krystiann]

Witam!

Mam taki wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+px^{2}+q}\) i pierwiastek \(\displaystyle{ z=2+i}\) muszę wyznaczyć p i q. Liczę sobie \(\displaystyle{ W(-2-1)}\) i dostaję równanie z dwiema zmiennymi. Mam wyznaczyć zależność pomiędzy pomiędzy p i q i to będzie rozwiązanie?

[bb314]

Jeśli w wielomianie występuje pierwiastek zespolony, to musi też być pierwiastek zespolony do niego sprzężony, czyli \(\displaystyle{ z=2-i}\)
stąd wynika, że

\(\displaystyle{ W(2+i)=0\ \ \wedge \ \ \ W(2-i)=0}\)

oraz
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot (x-2-i)(x-2+1)=P(x)\left( (x-2)^2-i^2\right)=\ ...}\)

[krystiann]

Dzięki, ładne wyniki mi wyszły \(\displaystyle{ p=-6, q=25}\), więc chyba dobrze.