Wyznaczyć wartości n i a - wielomian

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Fiszer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 19 kwie 2012, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 3 razy

Wyznaczyć wartości n i a - wielomian

Post autor: Fiszer »

Dla jakich wartości n i a, gdzie \(\displaystyle{ n, a \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ n \ge 1}\) wielomian
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - ax^{n-1} + ax -1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^2}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, prosiłbym o jakąś podpowiedź albo naprowadzenie.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Wyznaczyć wartości n i a - wielomian

Post autor: Ponewor »

Weźmy takie \(\displaystyle{ a, n \in \NN \wedge n \ge 1}\), że: \(\displaystyle{ \left(x-1\right)^{2}|x^{4} - ax^{n-1} + ax -1}\) równoważnie istnieje takie \(\displaystyle{ V\left(x \right)}\), że \(\displaystyle{ V\left(x\right) \cdot \left( x-1 \right)^{2} = x^{4} - ax^{n-1} + ax -1}\)
Po obustronnym zróżniczkowaniu, mamy:
\(\displaystyle{ V^{\prime} \left(x \right) \cdot \left(x-1\right)^{2} + 2 \cdot V\left(x\right) \cdot \left(x-1\right) = 4x^{3}-a \left(n-1\right)x^{n-2}+a \\
\left(x-1 \right) \Bigl(V^{\prime} \left(x \right) \cdpt \left( x-1 \right)+2 \cdot V \left(x \right) \Bigr)=4x^{3}-anx^{n-2}+ax^{n-2}+a}\)

Połóżmy \(\displaystyle{ x=1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ 4-an+2a=0 \Leftrightarrow a \left(n-2 \right)=4 \Leftrightarrow \left( a =1 \wedge n-2 = 4\right) \vee \left( a =4 \wedge n-2 =1\right) \vee \left( a=2 \wedge n-2 =2\right) \Leftrightarrow \left( a=1 \wedge n=6\right) \vee \left( a=4 \wedge n=3\right) \vee \left(a=2 \wedge n=4 \right)}\)

Pozostaje tylko sprawdzić które z wyznaczonych par spełniają warunki zadania. Podejrzewam, że wszystkie, ale nie chce mi się tego robić.
ODPOWIEDZ