Mam takie dwa zadania, które mogą pojawić się na spr na ocenę celującą, niestety nie potrafię się nawet za nie zabrać i nie wiem też co z nimi zrobić... Jakby ktoś był chętny pomóc to bardzo dziękuję
1. Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+2x+2 > 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\)
2. Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^6 + x^4 + 2x^2 \ge 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\)
Bardzo bym prosił o rozwiązanie tych 2 zadań i w miarę możliwości wytłumaczenie.
Z góry dziękuję
Zadania różne - wielomiany
-
Hajtowy
- Użytkownik
- Posty: 754
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 10:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 213 razy
- Pomógł: 5 razy
Zadania różne - wielomiany
zad 1.
\(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+2x+2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x^3+x^2+2x^2+2x+2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+2x+1)+2(x^2+x+1) > 0}\)
No i co dalej ? Nie powtarza mi się to samo w nawiasach...
W zadaniu 2 potęgi są parzyste, a więc każda liczba podnoszona do potęgi parzystej będzie dodatnia, ale jak to rozpisać nie pisząc słownie?
-- 12 sty 2013, o 10:26 --
Chyba, żeby 1 zadanie zrobić tak :
\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+2x+2) +1(x^2+2x+2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x^2+2x+2) > 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), a \(\displaystyle{ x^2+1}\) to jest sprzeczność...
Wystarczy tyle, by napisać, że ta nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\)?
\(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+2x+2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x^3+x^2+2x^2+2x+2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+2x+1)+2(x^2+x+1) > 0}\)
No i co dalej ? Nie powtarza mi się to samo w nawiasach...
W zadaniu 2 potęgi są parzyste, a więc każda liczba podnoszona do potęgi parzystej będzie dodatnia, ale jak to rozpisać nie pisząc słownie?
-- 12 sty 2013, o 10:26 --
Chyba, żeby 1 zadanie zrobić tak :
\(\displaystyle{ x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+2x+2) +1(x^2+2x+2) > 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x^2+2x+2) > 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \Delta < 0}\), a \(\displaystyle{ x^2+1}\) to jest sprzeczność...
Wystarczy tyle, by napisać, że ta nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\)?
-
Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Zadania różne - wielomiany
Na pierwsze nie patrzyłem, ale w drugim podstawienie :
\(\displaystyle{ t=x^2 \\
t \ge 0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ x^6 + x^4 + 2x^2 \ge 0 \\
(x^4 + x^2 + 2)x^2 \ge 0 \\
(t^2+t+2)t \ge 0}\)
Teraz \(\displaystyle{ t}\) jest nieujemne z założeń, pozostaje sprawdzić to w nawiasie.
\(\displaystyle{ t=x^2 \\
t \ge 0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ x^6 + x^4 + 2x^2 \ge 0 \\
(x^4 + x^2 + 2)x^2 \ge 0 \\
(t^2+t+2)t \ge 0}\)
Teraz \(\displaystyle{ t}\) jest nieujemne z założeń, pozostaje sprawdzić to w nawiasie.