Wielomiany i niewiadome

[tuti11]

Witam. W tym roku przygotowuje się do matury rozszerzonej, temat wielomianów opanowałem generalnie cały. Mam tylko jeden problem. Zawsze gubię się gdy pojawia się trzeci wielomian, tj. \(\displaystyle{ Q(x)}\). Może mi ktoś to wyjaśnić. Chodzi o to gdy w zadaniu trzeba zastosować \(\displaystyle{ W(x)}\), \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\), najczęściej z niewiadomą m. Jedyny wzór to chyba \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x) = W(x)}\). No i pojawia się również R(x) oznaczająca resztę, no ... po prostu nie orientuje się totalnie w tym temacie. Mógłby ktoś mnie do niego wprowadzić i mi tu wytłumaczyć.

Dla przykładu podam zadanie na którym się zatrzymałem.

2.15. Oblicz, dla jakich wartości współczynników m i n wielomian P jest dzielnikiem wielomianu W, gdy

a) \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} + 8x^{3} + mx^{2} + nx + 6}\); P(x)= \(\displaystyle{ x^{3} + 5x^{2} + 6x + 2}\)

b) \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} - x^{2} + mx + n}\); P(x)= \(\displaystyle{ x^{2} - mx + 1}\)

Proszę o pomoc

[kropka+]

W tym zadaniu jeden wielomian ma być podzielny przez drugi, więc reszta z dzielenia jest zerowa.
a)
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) \\ \\
x ^{4}+8x ^{3}+mx ^{2}+nx+6=(x ^{3}+5x ^{2}+6x+2)(x+a)}\)

Wymnażasz to i porównujesz współczynniki obu wielomianów, skąd wyliczysz liczby \(\displaystyle{ a,m,n}\)

[tuti11]

a więc wynik:

a) \(\displaystyle{ m=21;\ n=20}\)
b) \(\displaystyle{ m=1;\ n=0}\)

?

Dlaczego za \(\displaystyle{ Q(x)}\) podstawiamy \(\displaystyle{ (x+a)}\) ? Zawsze tak możemy zrobić w takim typie zadań ? Jak rozwiązujemy takie zadanie jeśli miałaby wyjść nam jakaś reszta ?

-- 10 sty 2013, o 18:53 --

I jeszcze przy okazji chciałbym zapytać o miejsca zerowe i dziedzinę wielomianów. Nie wiem jak je znaleźć. Dajmy na to przykłady takich zadań

1) Liczba miejsc zerowych wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= (x^{2} + 4)( 6x^{2} - 3x)}\) jest równa:

2) Dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (2x-3)(x+7)(x^{2} + 1)x}\) jest zbiór liczb całkowitych. Zatem liczba miejsc zerowych funkcji f jest równa:

3) Dziedziną funkcji homograficznej \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3x + 5}{x - 1}}\) jest zbiór:

Bardzo proszę o pomoc. Nie wiem czy dobrze myślę ale wychodzi mi że dwa miejsca zerowe w 1), mianowicie: \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\); a tj. trzecie miejsce zerowe \(\displaystyle{ x^{2} = -2}\) jest sprzeczne. To samo w 2) (\(\displaystyle{ \frac{2}{3}, -7}\) i równanie \(\displaystyle{ x^{2} = -1}\) jest sprzeczne), dobrze myślę ? Z kolei zadania 3) nie potrafię ruszyć.

[kropka+]

b) ma jeszcze drugie rozwiązanie - jakie?

Za \(\displaystyle{ Q(x)}\) podstawiliśmy \(\displaystyle{ x+a}\), bo:
1. stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) obliczamy jako różnicę stopni \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\)
2. wiedząc już, że to wielomian liniowy patrzymy na współczynniki przy najwyższej potędze iksa w wielomianach \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\). U nas to jest \(\displaystyle{ 1}\), więc odpowiadamy na pytanie: przez co trzeba pomnożyć \(\displaystyle{ x ^{3}}\) żeby dostać \(\displaystyle{ x ^{4}}\)?

Co do zadań z resztą to znajdź je na tym forum (w pole w prawym górnym rogu tej strony wpisz słowa: wielomian reszta i naciśnij szukaj). Jak czegoś nie zrozumiesz to napisz nowego posta z nowym zadaniem.

[tuti11]

Nie mam pojęcia, wyszedł mi taki układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= n \\ -m+a = -1 \\ 1-ma = m \end{cases}}\)

z czego dalej mi wychodzi, że \(\displaystyle{ a= 0}\)

1. stopień wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) obliczamy jako różnicę stopni \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\)
2. wiedząc już, że to wielomian liniowy patrzymy na współczynniki przy najwyższej potędze iksa w wielomianach \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\). U nas to jest \(\displaystyle{ 1}\), więc odpowiadamy na pytanie: przez co trzeba pomnożyć \(\displaystyle{ x ^{3}}\) żeby dostać \(\displaystyle{ x ^{4}}\)?

OK, rozumiem. Czyli jeżeli okazałoby się że potrzebny nam jest wielomian stopnia trzeciego to \(\displaystyle{ Q(x)=(x^{3} + x^{2} + x + a)}\) czy \(\displaystyle{ Q(x)= (x^{3} + a)}\) ?

[kropka+]

Nie, wielomian trzeciego stopnia ma postać: \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\).
To, co możemy od razu policzyć to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\), czyli współczynnik przy najwyższej potędze i wyraz wolny.

Jeśli chodzi o a) to masz dobry układ równań, ale z niego wynikają dwa rozwiązania, bo wyznaczając z dwóch równań \(\displaystyle{ m}\) i porównując je ze sobą dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}=n+1 \Rightarrow (n+1) ^{2}=1 \Rightarrow n=0 \vee n=-2}\)

Zadania:
1. ok
2. napisali, że dziedziną są liczby całkowite, więc mamy tylko jedno miejsce zerowe
3. z liczb rzeczywistych wypada tylko jeden iks: ten, dla którego w mianowniku jest zero, czyli?

[tuti11]

Nie, wielomian trzeciego stopnia ma postać: \(\displaystyle{ ax ^{3}+bx ^{2}+cx+d}\).
To, co możemy od razu policzyć to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\), czyli współczynnik przy najwyższej potędze i wyraz wolny.

Jeśli chodzi o a) to masz dobry układ równań, ale z niego wynikają dwa rozwiązania, bo wyznaczając z dwóch równań \(\displaystyle{ m}\) i porównując je ze sobą dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}=n+1 \Rightarrow (n+1) ^{2}=1 \Rightarrow n=0 \vee n=-2}\)

Zadania:
1. ok
2. napisali, że dziedziną są liczby całkowite, więc mamy tylko jedno miejsce zerowe
3. z liczb rzeczywistych wypada tylko jeden iks: ten, dla którego w mianowniku jest zero, czyli?

Jakim sposobem od razu możemy policzyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) ? Ten wielomian który Ty mi zaproponowałeś nie miał wyliczonego wyrazu wolnego ? Przepraszam, może to banalne pytania, ale już prawię rozumiem, lecz jednak nie do końca, dlatego próbuję dobrnąć do tego, by sobie to wszystko poukładać

Tak, już rozumiem skąd to drugie rozwiązanie.

a co do zadań, to także już rozumiem, a odp na 3) to oczywiście \(\displaystyle{ 1}\)

Dzięki !

EDIT: Chyba rozumiem Nie miał dlatego, że przy \(\displaystyle{ W(x)}\) również była niewiadoma jako wyraz wolny, zgadza się ?

[kropka+]

Wszystko zrozumiałeś.
W a) wiadomo było, że \(\displaystyle{ a=3}\), ale chciałam, żebyś sam na to wpadł.
W b) wiadomo było, że \(\displaystyle{ a=n}\)
BTW kropka+ to rzeczownik rodzaju żeńskiego (z plusem)