Rozwiaz rownanie

[momo]

\(\displaystyle{ x ^{3} -6x ^{2} +12x-12=0}\) Probowalam znalezc miejsca zerowe poznanymi sposobami , jednak zaden nie zadzialal. Jakas wskazowka?

[kropka+]

Jeden pierwiastek niewymierny i dwa zespolone.

[momo]

No dzieki za rozwiazanie, ale chcialabym wiedziec jak na to wpasc w przyszlosci

[bb314]

\(\displaystyle{ x ^{3} -6x ^{2} +12x-12=x^3-3\cdot2x^2+3\cdot2^2x-2^3-4=(x-2)^3-4=}\)

\(\displaystyle{ =(x-2)^3-\left( \sqrt[3]4\right)^3=\left[(x-2)-\sqrt[3]4\right]\cdot\left[ \left(x-2\right)^2+(x-2)\cdot\sqrt[3]4+\left( \sqrt[3]4\right)^2 \right]=0}\)

\(\displaystyle{ (x-2)-\sqrt[3]4=0\ \ \ \to\ \ \ \magenta x=2+\sqrt[3]4}\)

[Mariusz M]

No dzieki za rozwiazanie, ale chcialabym wiedziec jak na to wpasc w przyszlosci

Masz rownanie postaci

\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}=0}\)

aby otrzymac rownanie postaci \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

Teraz stosujesz jedno z ponizszych podstawien

\(\displaystyle{ y=u+v\\
y=u- \frac{p}{3u}\\
y=2 \sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{t}\\}\)


\(\displaystyle{ y^3+py+q=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+q+3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+q =0\\3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q\\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q\\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases} \\}\)

Powyzszy uklad rownan to wzory Viete trojmianu kwadratowego ktorego pierwiastkami sa
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)

\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)

Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
dobierasz tak aby \(\displaystyle{ uv=- \frac{p}{3}}\)

Jezeli \(\displaystyle{ u_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{1}}\)
spelniaja uklad rownan
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q\\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)
to
\(\displaystyle{ u_{2}=\exp{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1}\\
v_{2}=\exp{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1}\\}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_{3}=\exp{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1}\\
v_{3}=\exp{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1}\\}\)

tez spelniaja ten uklad rownan

\(\displaystyle{ \exp{ \frac{2i\pi}{3} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ \exp{ \frac{4i\pi}{3} }}\)
to pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki

Jezeli zastosujesz podstawienie

\(\displaystyle{ y=u- \frac{p}{3u}}\)

to po pomnozeniu rownania przez \(\displaystyle{ u^3}\)
dostaniesz rownanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\)
ale bedziesz musial(a) uwazac na zerowe pierwiastki tego rownania

Podstawienie \(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{t}}\)
sprowadza rownanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne kata potrojonego
(tutaj cosinusa)